第六讲-函数的奇偶性
知识点一、函数的奇偶性的概念
1、奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
（2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
知识点二、函数的奇偶性的判定与证明
1、定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
【归纳总结】
2、图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
3、性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
【归纳总结】
奇+奇=奇，偶+偶=偶
奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
|奇|=偶，|偶|=偶
注：奇偶=非奇非偶
考点一、函数奇偶性的判断证明
【典型例题】
1、下列判断中正确的是（ ）
A．是偶函数 B.是偶函数
C．是偶函数 D.是奇函数
2、已知函数对，都有，证明函数在上的奇偶性.
【变式练习】
1、（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．既不是奇函数又不是偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2、设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是奇函数 D.是偶函数
3、已知函数对一切实数都有成立， 且.
（1）分别求和的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性．
考点二、已知奇偶性求值求参
【典型例题】
1、已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2、若函数为奇函数，则________．
【变式练习】
1、已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
2、函数是定义在的偶函数，则
考点三、已知函数的奇偶性求解析式
【典型例题】
1、已知定义在上的函数的图像关于原点对称，且当时，，求函数的解析式。
2、已知，设为偶函数，为奇函数，且，求.
【变式练习】
1、函数是上的偶函数，且当时，函数的解析式为，求当时，函数的解析式
2、已知定义在上的奇函数和偶函数满足,求，.
考点四、奇偶性与单调性结合
【典型例题】
1、若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是_______________.
2、若偶函数在为增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3、若函数,若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数，则使得成立的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练习】
1、已知是偶函数，在上是单调递增，且满足，则不等式的解集是_______________.
2、若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集是_______________.
3、已知函数,则不等式的解集为_______________.
4、设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【模拟训练】
1、已知函数，若，则实数的取值范围是_______________.
2、已知（其中为常数），且，则（ ）
A. B. C. D.
3、已知函数，求满足不等式的实数的取值范围是___________.
4、设是奇函数，是偶函数，且满足，若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为______________.
5、已知，设为偶函数，为奇函数，且，求.
6、设是偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A. B. C. D.
7、已知定义在上的为奇函数，且在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8、设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______________.
9、已知函数是昰义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.
10、已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
11、已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（1）证明：为奇函数；
（2）证明：在上是增函数；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
12、设函数（，且）对任意非零实数，恒有．
（1）求及的值；
（2）判断函数的奇偶性．
13、若函数对任意实数x y都有，则称其为“保积函数”.
（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；
（2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明.第六讲-函数的奇偶性
知识点一、函数的奇偶性的概念
1、奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
（2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
知识点二、函数的奇偶性的判定与证明
1、定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
【归纳总结】
2、图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
3、性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
【归纳总结】
奇+奇=奇，偶+偶=偶
奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
|奇|=偶，|偶|=偶
注：奇偶=非奇非偶
考点一、函数奇偶性的判断证明
【典型例题】
1、下列判断中正确的是（ ）
A．是偶函数 B.是偶函数
C．是偶函数 D.是奇函数
【答案】B
2、已知函数对，都有，证明函数在上的奇偶性.
【答案】为奇函数
【解析】因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
【变式练习】
1、（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．既不是奇函数又不是偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】ACD
【解析】
对于项，因为，所以是奇函数，正确；
对于项，由，得且，关于原点对称．
所以，满足，故是奇函数，项错误；
对于项，因为，所以正确；
对于项，解得定义域为，且，所以既是奇函数，又是偶函数．
故选：ACD
2、设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数
C.是奇函数 D.是偶函数
【答案】B
3、已知函数对一切实数都有成立， 且.
（1）分别求和的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性．
【答案】（1），；（2）是奇函数，证明见解析.
【解析】（1）因为函数对一切实数都有成立，，
所以当时，即，
令可得，所以，即
（2）令可得，所以，
所以，即，，
所以函数是奇函数.
考点二、已知奇偶性求值求参
【典型例题】
1、已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2、若函数为奇函数，则________．
【答案】-1
【变式练习】
1、已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2、函数是定义在的偶函数，则
【答案】-1
考点三、已知函数的奇偶性求解析式
【典型例题】
1、已知定义在上的函数的图像关于原点对称，且当时，，求函数的解析式。
【答案】
2、已知，设为偶函数，为奇函数，且，求.
【答案】【】
【变式练习】
1、函数是上的偶函数，且当时，函数的解析式为，求当时，函数的解析式
【答案】
2、已知定义在上的奇函数和偶函数满足,求，.
【答案】，
考点四、奇偶性与单调性结合
【典型例题】
1、若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是_______________.
【答案】【】
2、若偶函数在为增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3、若函数,若,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4、已知函数，则使得成立的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由可得，
所以为偶函数，
当时，单调递增，
由可得，
两边平方化为
解得．
故选：．
【变式练习】
1、已知是偶函数，在上是单调递增，且满足，则不等式的解集是_______________.
【答案】
2、若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集是_______________.
【答案】
3、已知函数,则不等式的解集为_______________.【答案】【】
4、设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
由于奇函数在上 是增函数，
则该函数在上也是增函数，且，
，，
由可得，即.
当时，可得，解得；
当时，可得，解得.
因此，原不等式的解集为或.
故选：D.
【模拟训练】
1、已知函数，若，则实数的取值范围是_______________.【答案】
2、已知（其中为常数），且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3、已知函数，求满足不等式的实数的取值范围是___________.
【答案】
4、设是奇函数，是偶函数，且满足，若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为______________.
【答案】
5、已知，设为偶函数，为奇函数，且，求.
【答案】
6、设是偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7、已知定义在上的为奇函数，且在区间上单调递增，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8、设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，
故有，或.
再由，可得，由函数在上为增函数，可得函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图：
结合函数的单调性示意图可得或.
故答案为：
9、已知函数是昰义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）在上为奇函数，且，
有，解得，，此时，∴为奇函数，故．
（2）证明：任取，
则，
而，且，即，
∴，在上是增函数.
（3）因为，又在上是增函数，
∴，解得∴不等式的解集为．
10、已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）在上递增，证明详见解析；（3）.
【解析】
（1）依题意函数是定义在[，1]上的奇函数，
所以，
，
所以，经检验，该函数为奇函数.
（2）在上递增，证明如下：
任取，
，
其中，所以，
故在上递增.
（3）由于对任意的，总存在，使得成立，
所以.
.
当时，在上递增，，
所以.
当时，在上递减，，
所以.
综上所述，.
11、已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（1）证明：为奇函数；
（2）证明：在上是增函数；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)
【解析】
（1）
因为有，
令，得，所以，
令可得：，
所以，
故为奇函数．
（2）
由（1）可知是定义在，上的奇函数，
由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
（3）
由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为
所以要使，对所有，恒成立，只要，
由，可得
解得
所以实数的取值范围为
12、设函数（，且）对任意非零实数，恒有．
（1）求及的值；
（2）判断函数的奇偶性．
【答案】（1）；；（2）偶函数．
【解析】
（1）对任意非零实数，，
恒有，
∴令，代入，得，
解得
令，代入，
得，
可得．
（2）取，，代入，
得
又函数的定义域为
∴函数是偶函数
13、若函数对任意实数x y都有，则称其为“保积函数”.
（1）请写出两个“保积函数”的函数解析式；
（2）若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明.
【答案】（1），(答案不唯一)﹔（2）偶函数，证明见解析.
【解析】
（1）若，则，，可得符合
“保积函数”的定义，
若，则，，可得符合
“保积函数”的定义，
所以两个“保积函数”的函数解析式可以是，(答案不唯一)﹔
（2）函数是偶函数，
令，则对任意实数x y都成立，
所以“保积函数”满足，则是偶函数；
