2023届高三数学一轮复习解三角形微专题——边角互化讲义（含答案）

2023届解三角形微专题——边角互化
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
例1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值．
对点练习
1.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
例2.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．
对点练习
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
2.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C+sinBsinC＝sin2A．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的最大值．
例3.在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知6cos2（A）+cosA＝5．
（1）求A；
（2）若a＝2，求b2+c2的取值范围．
对点练习
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
2.在①是和的等差中项；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件 （填写所选条件的序号）．
(1)求角；
(2)若，求锐角的周长的取值范围．
备选练习
1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
3.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝（2b﹣c）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，BC边上的中线AD，求△ABC的面积．
4.从①，②b2+ac＝a2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）
（1）求B；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a．
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB＝ccosA+acosC．
（1）求B；
（2）若a＝2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
6.在①c＝asinC+ccosA，②sin（B+C）1+2，③cos（A）＝sin2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC为面积为S，已知___．
（1）求A；
（2）若S＝6，b＝3，求a．
7.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____，求角B的大小．
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，bsinA＝4（sinAcosC+cosAsinC）．
（1）求a的长度；
（2）求△ABC周长的最大值．
9.在△ABC．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值．
10.设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，（sinB﹣sinC）b＝（a﹣c）（sinA+sinC）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD＝1，求△ABC面积的最小值；
②设点D为BC边上的中点，且AD＝1，求△ABC面积的最大值．
2023届解三角形微专题——边角互化解析
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
例1.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值．
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
因为，可得B=．
（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
对点练习
1.的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】（1）根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，
而根据题意，故不成立，所以，
因为，代入得，所以．
（2）因为是锐角三角形，
由（1）知，得到，
故，解得．
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
．
又因，故，
故．故的取值范围是
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）因为，
由余弦定理，得，即．所以．
（2）因为，
由正弦定理，得，所以．
从而，即，故．
因为，所以，从而．
因此．
例2.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得，
，，．
（2）由余弦定理得，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得（当且仅当时取等号），
周长，
周长的最大值为．
对点练习
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【解析】（1）
即，由正弦定理可得，
， ，；
（2），由正弦定理得
又，
整理可得
解得或
因为所以，故．
（2）法二：，由正弦定理得
又，
整理可得，即
由，所以
．
2.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C+sinBsinC＝sin2A．
（1）求角A的大小；
（2）若，求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）△ABC中，因为sin2B+sin2C+sinBsinC＝sin2A，
由正弦定理得b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理得cosA，
又A∈（0，π），所以A；
（2）由a，sinA＝sin，
根据正弦定理得2，
所以b＝2sinB，c＝2sinC＝2sin（B）cosB﹣sinB，
所以a+b+c2sinB+（cosB﹣sinB）cosB+sinB2sin（B），
又0＜B，
所以当B时，△ABC周长取得最大值为2．
例3.在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知6cos2（A）+cosA＝5．
（1）求A；
（2）若a＝2，求b2+c2的取值范围．
【解答】解：（1）因为6cos2（A）+cosA＝5，
所以6sin2A+cosA＝5，整理可得6cos2A﹣cosA﹣1＝0，解得cosA，或，
又A∈（0，），所以cosA，可得A．
（2）由正弦定理可得，可得bsinB，csinC，
可得b2+c2sin2Bsin2C（）（cos2B+cos2C），
因为A，可得2C2B，
所以b2+c2[cos2B+cos（2B）]（cos2Bcos2Bsin2B）（cos2Bsin2B）cos（2B），
又，可得，可得2B∈（，），
可得cos（2B）∈[﹣1，），
所以b2+c2cos（2B）∈（，8]．
对点练习
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）由已知得，即．
所以，．由于，故．
（2）由正弦定理及已知条件可得．
由（1）知，所以．
即，．
由于，故．从而是直角三角形．
2.在①是和的等差中项；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件 （填写所选条件的序号）．
(1)求角；
(2)若，求锐角的周长的取值范围．
【答案】(1)解：选①，由已知可得，
所以，，
、，则，，可得，，故；
选②，因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为，则，可得，，故.
选③，，则，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，故；
(2)解：因为为锐角三角形，则，可得，
由正弦定理可得，则，，所以，，
因为，则，则，故.
备选练习
1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（1）由结合正弦定理可得
△ABC为锐角三角形，故．
（2）结合（1）的结论有：
．
由可得，，
则，．
即的取值范围是．
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵2sinC＝3sinA，∴根据正弦定理可得2c＝3a，
∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得，
∵sin2C+cos2C＝1，∴sinC，
∴．
（2）∵c＞b＞a，∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，
，
∴a2﹣2a﹣3＜0，∵a＞0，∴0＜a＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边，
∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，∴1＜a＜3，∵a为正整数，
∴a＝2．
3.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＝（2b﹣c）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，BC边上的中线AD，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）△ABC中，acosC＝（2b﹣c）cosA，
由正弦定理得，sinAcosC＝2sinBcosA﹣sinCcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosA，∴sin（A+C）＝2sinBcosA，
又A+B+C＝π，∴sinB＝2sinBcosA，sinB＞0，∴cosA，
又A∈（0，π），∴A；
（2）∵b＝2，BC边上的中线AD，
∴可得2，两边平方，可得4222+2 ，
∴4×（）2＝c2+b2+2×c×b×cosA＝c2+4+2，整理可得c2+2c﹣8＝0，解得c＝2，或﹣4（舍），
∴△ABC的面积为SbcsinA2×2．
4.从①，②b2+ac＝a2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）
（1）求B；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a．
【解答】解：（1）选择条件①：由正弦定理及，知sinBsinCsinCcosB，
因为sinC≠0，所以sinBcosB，所以tanB，因为B∈（0，π），所以B．
选择条件②：
由余弦定理知，cosB，所以B．
（2）因为△ABC的面积SacsinBac，所以ac＝4，
由（1）知，b2+ac＝a2+c2，所以4+4＝a2+c2，即8＝a2，
化简得a4﹣8a2+16＝0，解得a2＝4，又a＞0，所以a＝2．
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB＝ccosA+acosC．
（1）求B；
（2）若a＝2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长．
【解答】解：（1）∵2bcosB＝ccosA+acosC，
∴由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（C+A）＝sinB，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∴．
（2）由（1）知，
∵a＝BC＝2，b，
∴由正弦定理可得，，即，
∴，∴或（舍去），
∴，∵AD⊥AC，
∴，，
∴，∴．
6.在①c＝asinC+ccosA，②sin（B+C）1+2，③cos（A）＝sin2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC为面积为S，已知___．
（1）求A；
（2）若S＝6，b＝3，求a．
【解答】解：（1）若选①，由正弦定理可得，
因为0＜C＜π，所以sinC≠0，则，
0＜A＜π，于是．
若选②，由题意，，
则，
而0＜A＜π，于是．
若选③，由题意，，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，则．
（2）由题意，，
由余弦定理．
7.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____，求角B的大小．
【解答】解：若选①，因为，
所以由正弦定理可得（2sinAsinC）cosBsinBcosC，即2sinAcosB（sinBcosC+sinCcosB）sin（B+C），因为A＝π﹣B﹣C，所以sinA＝sin（B+C），
所以2sinAcosBsinA，因为sinA≠0，所以cosB，
因为0＜B＜π，所以B．
若选②，因为，
所以由正弦定理可得，整理可得a2ac＝b2﹣c2，即a2+c2﹣b2ac，
由余弦定理可得cosB，可得cosB，
因为0＜B＜π，所以B．
若选③，，
所以由正弦定理可得sinAsinBsinC﹣sinBcosAcosCsinB，
因为sinB≠0，所以sinAsinC﹣cosAcosC，即cos（A+C），
因为B＝π﹣A﹣C，所以cosB，因为0＜B＜π，所以B．
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，bsinA＝4（sinAcosC+cosAsinC）．
（1）求a的长度；
（2）求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）由bsinA＝4（sinAcosC+cosAsinC）＝4sin（A+C）＝4sinB．得bsinA＝4sinB，由正弦定理得ab＝4b，得a＝4．
（2）由，得bccosA，由余弦定理得bc，得b2+c2＝25，
由25＝b2+c2≥2ab，所以（b+c）2＝b2+c2+2ab＝25+2ab≤50，
所以b+c≤5（当且仅当b＝c时取等号），所以三角形ABC周长的最大值为4+5．
9.在△ABC．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若点D在边AC上，且，求△BCD面积的最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵，
∴，整理得2sinBcosA＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB＞0，∴cosA，A∈（0，π），∴A；
（2）∵，∴（），
∴，
∴S△BCDS△ABCbcsinAbcsinbc．
在△ABC中，a＝3，
由余弦定理：9＝a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤9，当且仅当b＝c＝3时取等号，∴（S△BCD）max9．
10.设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，（sinB﹣sinC）b＝（a﹣c）（sinA+sinC）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且AD＝1，求△ABC面积的最小值；
②设点D为BC边上的中点，且AD＝1，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，且（sinB﹣sinC）b＝（a﹣c）（sinA+sinC），
∴（b﹣c）b＝（a﹣c）（a+c），即b2+c2﹣a2＝bc，
∴，又A∈（0，π），
∴．
（Ⅱ）若选①∵AD平分∠BAC，∴，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴，即，∴，
由基本不等式可得：，
∴，当且仅当时取“＝”，
∴，即△ABC的面积的最小值为．
若选②因为AD是BC边上的中线，
在△ADB中由余弦定理得，
在△ADC中由余弦定理得，
∵cos∠ADB+cos∠ADC＝0，∴①，
在△ABC中，，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc②，
由①②得4﹣bc＝b2+c2，
∴4﹣bc＝b2+c2≥2bc，解得，当且仅当时取“＝”，
所以，即△ABC的面积的最大值为．