数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数的单调性和最大小值（共27张ppt）

(共27张PPT)
3.2 函数的基本性质
函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，即函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们就可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，就可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.
那么，什么是函数的性质呢？
函数的性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”.
因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律.
函数表示法中图象法的特点
①函数图象能直观形象地表示出函数的变化趋势；
②用图象表示函数有利于研究函数的某些性质.
因此要研究函数的性质，我们可以首先从函数图象入手.
初中我们学习过一次函数、二次函数、反比例函数，我们是通过什么来研究它们的性质的？
问题1：观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪些特征，你觉得它们反映了函数哪方面的性质？
从图象的升降角度看：
图1中 从左至右的始终是上升的,
即在(-∞,+∞)y随x的增大而增大.
图2，3函数图象在有的区间上从左至右是保持上升的,
即在这些区间上函数y随着自变量x的增大而增大；
在有的区间上从左至右是保持下降的,
即在对应区间上函数y随着自变量x的增大而减小.
我们把函数的这种性质归结为函数的单调性.
图形语言----定性
符号语言----定量
3.2 函数的基本性质
第1课时
3.2.1单调性与最大（小）值
问题2：在初中，我们研究过二次函数，现在我们以函数y=x2为例。我们知道在区间(-∞,0]上，y随x的增大而减小。请问你是怎样理解“y随x的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？
追问1：对于“x增大了”如何用符号语言表示？“对应的函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x) … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
当x从-4增大到-3，函数值y从16减小到9
当x从-3增大到-2，函数值y从9减小到4
当x从-2增大到-1，函数值y从4减小到1
追问2：这样的变化过程你能写完吗？你能借助字母符号，归纳上述具体数值变化的共同特征吗？
只要x1f(x2)
追问3：这里对x1 ，x2 有什么要求？只取(-∞,0]上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？
在(-∞,0]上，任取 x1、x2 ，只要x1f(x2)，这时我们说函数f(x)在上是单调递减的.
所有的x1f(x2)
追问4：“所有”又该如何说明？既然“所有”不易操作，我们可以用什么量词来代替“所有”呢？你能严格表达出来吗？
追问5：你能说明为什么f(x1)>f(x2)吗？
追问6: 对于函数y=x2，你能模仿以上的方法，给出“在区间[0,+∞)上，f(x)随着x的增大而增大”的符号语言刻画吗？
在[0,+∞)上任取x1 、x2 ，只要x1任取 x1、x2 ∈(-∞,0]，当x1f(x2)，
即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递减的。
任取 x1、x2 ∈[0,+∞)，当x1即函数f(x)在(-∞,0]上是单调递增的。
-
问题3：你能归纳以上函数单调性的刻画方法，给出函数y=f(x)在区间D上单调性的符号表示吗？
函数单调性的定义
关于 x1，x2 三点说明：
（1）都来自同一区间D，
（2）必须任意，
（3）有大小关系，一般设x1如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格）的单调性，区间D叫做y=f(x)的
单调区间.
③单调性和单调区间：
明显:
函数的增减, 是对定义域内某个区间而言的, 它是个局部性的概念.
在单调区间上,增函数的图象是上升的, 减函数的图象是下降的.
(1)这个单调区间可以是整个定义域。 如：y=3x+1在定义域上是
增函数,y=-x是减函数
(2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集。 如：y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数,在 [0,+∞)是增函数.
(3)有的函数没有单调性区间
(1)对于函数f(x)=|x|，取集合A={-1,2,3}，
则 x1,x2∈{-1,2,3}，当x1但f(x)=|x|在(-4,4)上并不单调递增.
(2)函数的单调性是函数的“局部”性质。
定义域优先
①任取
③变形
⑤下结论
②作差
④定号
①当k>0时，
于是
②当k<0时，
于是
一次函数的单调性必须看一次项系数k
题型1利用定义判断或证明函数的单调性
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
课本79页练习4.画出反比例函数 的图象.
（1）这个函数的定义域 I 是什么？
（2）它在定义域 I 上的单调性是怎样的？证明你的结论.
（2）解：当k>0时，图象如图（1）；当k>0时，图象如图（2）.
多个单调区间不能用“∪”连接，必须用“，”或“和”连接
反比例函数的单调性必须看比例系数k,还要注意单调区间的写法。
单调增区间 单调减区间
a>0
a<0
的对称轴为
二次函数的单调性必须看它的开口方向和对称轴
请你说出一个单调增区间是 的二次函数
例2.判断函数 在区间(0,1)上的单调性.
解:任意取x1, x2 ∈(0，1)，且0则 f(x1)－f(x2)
∵0＜x1＜x2＜1,
∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,
∴ f(x1)－f(x2)＞0 .
即 f(x1)＞f(x2) .
故此函数在(0,1)上单调递减.
例3.求下列函数的单调区间
题型2：求函数的单调区间
x
y
O
2
3
1.利用图象求函数的单调区间
2.利用定义求函数的单调区间
解法一：定义法
解法二：利用所学过函数的单调性
一次分式函数转化为反比例型函数
f(x)
左移a(a>0)得f (x+a)
右移a(a>0)得f (x－a)
上移a(a>0)得f (x)+a
下移a(a>0)得f (x)－a
函数图象的平移
3.求复合函数的单调区间
求函数的单调区间的基本方法：
图象法
直接利用初等函数的单调区间
定义法
结论法
(1)若f(x)为增(减)函数，则 为 ．(2)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的 函数．
增(减)
减(增)
如何证明？
想想：这对你有什么启发？
利用函数的单调性可以将函数值大小问题转化为自变量的大小问题
题型3.函数单调性的应用

例7.若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。
o
x
y
1
x
y
1
o
解：二次函数 的对称轴为 ,
由图象可知只要 ，即 即可.
若二次函数 的单调增区间是 ,则a的取值情况是 （ ）
变式1
A. B. C. D.
讨论函数 在(-2,2)内的单调性.
变式2
解：f(x)的开口方向向上，对称轴是x=a，
（1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增；
（2）当-2但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。
A
俗称：抽象函数的单调性问题
分析：肯定用定义法证明，那如何任取值、作差、变形、定号？