14.2.2 完全平方公式 课件（23张ppt）

(共23张PPT)
14.2.2　完全平方公式
人教版八年级上册
知识回顾
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和
两个数的差
积
平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
教学目标
1.了解并掌握完全平方公式.
2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.
新知导入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
m2–4m+4
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= = .
a2+2ab+b2
(a–b)2= = .
a2–2ab+b2
问题1：
问题2：
(a+b)(a+b)
(a-b)(a-b)
新知探究
借助几何图形证明：
设大正方形ABCD的面积为S.
S==S1+S2+S3+S4
S1
S2
S3
S4
证明
新知探究
借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2= .
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即 .
(a+b)2
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
a2+2ab+b2
新知探究
借助几何图形证明：
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是 .
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，
所以(a-b)2= .
即 .
(a-b)2
a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
a2-2ab+b2
(a-b)2
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
新知探究
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
完全平方公式
新知探究
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
完全平方公式
新知练习
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知典例
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
(2)
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
新知练习
1. 利用完全平方公式计算：
(1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2；
(3)(–3a＋b)2.
(3)(–3a＋b)2＝
解：(1)(5–a)2＝
(2)(–3m–4n)2＝
25–10a＋a2；
9m2＋24mn＋16n2；
9a2–6ab＋b2.
新知典例
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992 .
解： (1) 1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404
(2) 992
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10 000-200+1
=9 801.
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
新知练习
2. 利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152.
＝(2016–2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1
＝–395；
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
新知典例
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20；
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
新知练习
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.
52
3.填空
(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=________ .
18或–18
(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.
1
课堂总结
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2
课堂练习
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( )
A．(a–b)2 B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　)
A．a2–4a+4 B．a2–2a+4
C．a2–4 D．a2–4a–4
A
D
课堂练习
3.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
解：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792
=4.3212＋2×4.321×0.679＋0.6792
=（4.321+0.679）2
=52
=25
课堂练习
4.图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )
A. ab
B. (a+b)2
C. (a-b)2
D. a2-b2
图1
图2
a
b
4ab
(a+b)2
C
(a+b)2-4ab
=a2+2ab+b2-4ab
=(a-b)2
课堂练习
解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2 ；
(2) (2x+3y)(-2x-3y)
=-(2x+3y)2
=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]
=-4x2-12xy-9y2 .
5.计算下列式子：
(1) (-2m-n)2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) .
谢谢
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