沪科版八年级数学上册13.2.3 与三角形有关的证明 课件 (共21张PPT)

(共21张PPT)
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
13.2.3 与三角形有关的证明
旧知回顾
导入新课
1．什么是命题？什么是互逆命题？
答：对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫命题．
将一个命题的题设与结论互换，得到一个新命题，这两个命题叫互逆命题．
答：有些命题，它的正确性经过推理得到证实，并被选定作为判定其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．
2．什么是定理？什么是演绎推理？什么是证明？
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．
演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明．
探究新知
三角形内角和定理及推论1
活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗？
还有其他的拼接方法吗？
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
B
C
A
l
1
2
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
C
B
A
E
D
1
2
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：还有其他的方法吗？
知识归纳
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
问题1：在△ABC中，∠C=900，求:∠A+∠B的度数？由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝ 90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
探究新知
根据三角形内角和定理，另两个角的和应该为90°，于是得
推论1 直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和推论1：
典例
例题与练习
如图有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是多少？
解：如图，
∵∠1＋∠3＝90°－60°＝30°，
而∠1＝18°，
∴∠3＝30°－18°＝12°.
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝12°.
仿例
C
1.如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为 (　 　)
A．17°　　　　B．34°　　　　
C．56°　　　　D．124°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，如果∠A＝40°，则∠1＝ 度．
40
3.如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是(　 　)
A．40°　　　　 B．50°　　　　
C．60°　　　　 D．140°
B
仿例
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形内角和定理推论2
问题2：在△ABC中，∠A+∠B=900，则∠C度数为多少？由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A＋∠B＝90°,
∴∠C＝ 90°.
探究新知
三角形内角和推论2：
典例
在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是(　 　)
A．等腰三角形　　　　 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
B
例题与练习
范例1
如图，∠A＝∠1＝∠ABC＝70°，∠C＝90°，求∠2的度数．
解：∵∠A＝∠1＝70°，
∴∠ABD＝180°－70°－70°＝40°，
∴∠DBC＝70°－40°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠2＝90°－∠DBC＝90°－30°＝60°.
范例2
如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若∠1＝∠A，试判断△ABC的形状．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠1＋∠B＝90°.
∵∠1＝∠A，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
随堂练习
补充完成下列证明，并填上推理的依据：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
E
C
D
证明：过点A作DE//BC，
则 ∠DAB= ，（ ）
∠EAC= ，（ ）
∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC= ，（所作）
∴ ∠B+∠BAC+∠C= + + （ ）
=180°.
180°
两直线平行内错角相等
∠C
两直线平行内错角相等
∠B
∠DAB
∠BAC
∠EAC
等量代换
2. 补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
∴∠A=∠4 ∠B=∠3
∴∠A+∠B+∠C=180°
证明 D是BC边上一点，过点D作 DE//AB，DF//AC，分别交AC，AB于点E，F.
∵ DE//AB，（所作）
又∵DF//AC
∴∠C=∠1 ∠2=∠4
∴∠A=∠2
又∵∠1+∠2+∠3=180°
求证：AB∥CD．
3.已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
A
B
C
D
4
2
1
3
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠3＝∠4,
∴AB∥ CD(内错角相等，两直线平行)．
解：∵ DE∥BC且∠C= 70°，
D
C
B
A
E
4.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求 ∠ADE的度数.
∴∠AED=∠C= 70°
(两直线平行,同位角相等) .
∵在△ ADE中∠A=60°，
∴∠A+∠ADE+∠AED=180°
(三角形内角和定理)，
∴∠ADE= 180°－60°－70°＝50°.
三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理的证明及推论1、2
课堂小结
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.