沪科版八年级数学上册13.2.4 三角形的外角 课件 (共20张PPT)

(共20张PPT)
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
13.2.4 三角形的外角
旧知回顾
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1．三角形内角和定理是什么？推论有哪些？
答：三角形内角和为180°.
2．把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1＝60°, 则∠2＝ ．
150°
推论1：直角三角形两锐角互余；
推论2：有两角互余的三角形是直角三角形．
探究新知
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠ A、 ∠ B有怎样的关系？
证明： △ABC中
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
（三角形内角和定理）
∠ACB+∠ACD=180°（平角定义）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
C
B
A
D
推论3 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
结论
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
探究新知
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
知识归纳
例题与练习
已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角
求证： ∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明： ∵∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠ACB
∠3=∠BAC+∠ABC,
例
∴ ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).（等式性质）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）
∴∠1+∠2+∠3=360°.
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
典例
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(　 　)
A．85°　　　 B．80°　　　　C．75°　　　D．70°
A
1.如图1，∠α与∠β的度数和为 ．
270°
2.已知如图2，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于 ．
115°
图1
图2
仿例
3.如图3，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝ 度．
80
4.如图4，∠3＝120°，则∠1－∠2＝ .
60°
图3
图4
仿例
变例
如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.
求：(1)∠BDC的度数；
(2)∠BFC的度数．
解：(1)∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°；
(2)∵∠BFC是△BDF的外角，
∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.
三角形的外角性质2
推论4 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
探究新知
问题 如图，比较△ABC的外角∠CAD与其不相邻的两内角(∠B，∠C)大小？
结论
例题与练习
范例
如图，∠A、∠DBC、∠DEC的大小关系是(　 　)
A．∠A > ∠DBC > ∠DEC　　
B．∠DEC > ∠A > ∠DBC
C．∠DEC > ∠DBC > ∠A
D．∠DBC > ∠A > ∠DEC
C
仿例
如图，点D是△ABC的外角平分线CD与BA的延长线的交点，求证：∠BAC >∠B.
证明：∵∠BAC是△ACD的一个外角，
∴∠BAC >∠1，
又∵CD平分∠ACE，
∴∠1＝∠2，
∴∠BAC >∠2.
又∵∠2是△BCD的一个外角，
∴∠2 >∠B，
∴∠BAC >∠B.
随堂练习
1.填空：
（1）如图，∠ABC = ，∠1= ；
（2）在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是 .
A
D
B
C
E
60°
110°
1
50°
130°
90°
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
2 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
3.如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】
(一题多解)如图，∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4
∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°
=101°.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）
)
2
F
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角