沪科版八年级数学上册 14.2.1 全等三角形的判定定理 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第十四章 全等三角形
14.2 全等三角形的判定
第1课时 三角形全等的判定1
旧知回顾
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答：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
1．什么是全等三角形？全等三角形性质是什么？
全等三角形对应边相等，对应角相等．
2．如图，如果△ABC≌△FED，请说出对应的边、对应顶点、对应角．
答：对应边：AC和DF，BC和ED，AB和FE；
对应角：∠A和∠F，∠B和∠E，∠ACB和∠FDE.
对应顶点：点A与点F，点C与点D，点B与点E；
探究新知
操作
三角形有六个基本元素(三边和三个角)，只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？通过画图，说明你的判断。
1.只给定一个元素
①一条边长4cm，
②一个角为45 .
①
②
只给定三角形的一个元素，无法确定一个三角形的形状。
解：如图所示
2.只给定两个元素
①两条边分别长4cm、5cm，
②一条边长为4cm,一个角为45 ,
③ 两个角分别为45 、60 .
只给定三角形的两个元素，也无法确定一个三角形的形状。
那还需增加什么条件才可唯一确定一个三角形呢？
①
②
③
1.如图,在圆规的两脚上各取一个点A、C,自由转动其中一个脚,△ABC能唯一确定吗？若不能,你能补充一个条件使它唯一确定吗？
探究
A
C
B
a
2.如图，将两块三角尺的一条直角边放置在同一直线l上平移,其中∠B, ∠ C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A，沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，获得的△ABC能唯一确定吗
那么还需增加什么条件才可使△ABC唯一确定？
A
B
C
l
A
B
C
SAS的判定方法
探究新知
画法：
2. 在射线B′M上截取B′A′= BA
3. 在射线B′N上截取B′C′=BC
1. 作∠MB′N= ∠B
4. 连接A′C′
A
B
C
A′
B′
C′
M
N
△ABC 与△A′B′C′能互相重合吗？
画一画：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′使A′B′=AB，B′C′=BC，∠B=∠B′。
知识归纳
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
三角形全等判定方法1
例题与练习
已知，如图，AD∥CB ， AD= CB，求证 △ ADC ≌△ CBA.
证明：∵AD∥CB
在△ADC 和△ CBA中，
∴ △ ADC ≌△ CBA ( SAS)
A
B
C
D
∴∠DAC=∠BCA.
(两直线平行，内错角相等）
例
AD=CB(已知)，
∠DAC=∠BAC(已证)，
AC=CA(公共边)，
∵
如图，AC和BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需 (　 　)
A．AB＝DC　　　　　 　 B．OB＝OC　　
C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
B
典例
如图①，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE＝CF，请添加一个条件 ，便可根据“SAS”使△ABC≌△DEF.
AB＝DE
仿例1
如图②，已知：AB＝DB，CB＝EB，∠1＝∠2，则∠A＝ ．
∠D
仿例2
SAS的判定与全等三角形性质综合运用
如图，在湖泊的岸边有A、B，难以直接量出A, B两点间的距离，你能设计一种量出A, B间距的方案吗？说明你这样设计的理由.
例
解：在岸上取可以直接到达A，B的一点C,
A
B
C
·
B′
A′
连接AC，延长AC到点A′，使A′C=AC；
连接BC,并延长BC到点B′，使B′C=BC.
连接A′ B′，量出的长度，就是AB两点间距离.
证明：在△ABC与△A′B′C中，
∵
AC=A′C
∠ACB= ∠ A′C B′，（对顶角相等）
BC=B′C
∴△ABC≌△A′B′C.（SAS）
∴A′B′=AB.（全等三角形对应边相等）
A
B
C
·
B′
A′
已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE.
求证：△ACD≌△CBE.
证明：∵C是AB的中点(已知)，
∴AC＝CB(线段中点的定义)．
∵CD∥BE(已知)，
∴∠ACD＝∠B(两直线平行，同位角相等)．
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(SAS)．
典例
已知，如图所示，C为BE上一点，点A、D分别在BC两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED，若∠ACB＝30°，∠E＝45°，则∠ACD＝ ．
105°
仿例
随堂练习
1.如图，已知AB＝AC，AD＝AE.
求证：∠B＝∠C.
B
C
D
E
A
证明：在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
AB＝AC(已知)
∠A=∠A(公共角)
AD＝AE (已知)
2.已知:如图, AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证:DC∥AB.
证明：
OA=OC（已知）
∠AOB =∠COD （对顶角相等）
OB=OD （已知）
∵
∴△COD≌△AOB（SAS）
∴∠C=∠A（全等三角形对应角相等）
∴ DC∥AB （内错角相等的两条直线平行）
D
C
O
A
B
3.已知：如图,AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：△ABD≌△ACE.
证明：
在△CAE和△BAD 中
AC=AB（已知）
∠CAE=∠BAD（已证）
AE=AD
∴△ABD≌△ACE（SAS）
1
2
A
C
B
E
D
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE（等式的性质）
即 ∠BAD= ∠CAE
4.已知：如图, AB=CB,∠1= ∠2.
求证:(1) AD=CD； (2) DB 平分∠ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中
证明：
∴△ABD≌△CBD（SAS）
AB=CB (已知)
∠1=∠2 (已知)
BD=BD (公共边)
∴AD =CD，∠3 =∠4
∴DB 平分∠ADC.
5.如图, 点E、F在AC上, AD//BC, AD=CB, AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
(已知），
(已证），
(已证），
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
注意
边角边
课堂小结
为证明线段和角相等提供了新的证法
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边