沪科版八年级数学上册 14.2.2 两角及其夹边对应相等的两个三角形 课件(共20张PPT)

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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第2课时 两角及其夹边对应相等的两个三角形
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答：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简称“SAS ”．
1．什么是边角边定理？
答：不全等．
2．由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗？为什么？
如右图：AB＝AB，∠B＝∠B，AB1＝AC.
但△ABB1与△ABC不全等．
探究新知
ASA的判定方法
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识归纳
“角边角”判定方法
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
A
B
C
A ′
B ′
C ′
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
例题与练习
典例
如图，若已知∠A＝∠C，OA＝OC，就可以证明△AOB≌△COD，那么判断的理论根据是 ，其中一个隐含的条件是 ．
ASA
∠AOB＝∠COD
变例
如图，有一块三角形玻璃裂成两块，现需要做一块一样大小的玻璃，只需第 块玻璃碎片就可配制，其理由是 ．
②
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等
(1)
(2)
例1
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求证：DB=CB.
证明：
∵ ∠ ABD与∠ 3互为邻补角
∠ABC与∠ 4互为邻补角(已知)
　又∵∠3＝∠4（已知）
∴ ∠ABD＝∠ABC.（等角的补角相等）
D
A
C
P
B
1
2
3
4
在△ABD和△ABC中，
∠DAB＝ ∠CAB（已知）
AB=AB （公共边）
∠ DBA＝ ∠CBA （ 已证）
∴ △ABD ≌ △ABC （ASA）
∴ DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
三角形全等的判定方法的综合运用
已知：如图，要测量河两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再过点D作BF的垂线DE.使点A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长等于AB的长，请说明道理.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A
B
C
D
E
F
已知AB⊥BD，ED ⊥ BD，且AE交BD于C，BC=CD
分析：
1.寻求已知条件：
2.转化为判定的条件：
3.得出结论：
BC=DC(已知条件）
∠ ABC=∠EDC=90° (垂直定义）
∠ ACB=∠ ECD (对顶角相等）
例2
证明：
∵ AB⊥BD，ED ⊥ BD（已知）
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=ED（全等三角形的对应边相等）
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A
B
C
D
E
F
∠ ABC=∠EDC (已证)
BC=DC(已知）
∠ ACB=∠ ECD (对顶角相等）
∴∠ ABC=∠EDC=90°（垂直的定义）
已知：如右图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
求证：△ADC≌△BCD.
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)，
典例
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
即∠ADC＝∠BCD.
在△ADC和△BCD中，
∠1＝∠2（已知）
DC＝CD（公共边）
∠ADC＝∠BCD（已证）
∴△ADC≌△BCD(ASA)．
如图，已知AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E，求证：BC＝ED.
证明：∵∠1＝∠2，
仿例1
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD.
即∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∠EAD＝∠BAC，
AB＝AE，
∠B＝∠E，
∴△EAD≌△BAC(ASA)，
∴BC＝ED.
如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，求证：OA＝OD.
证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠A＝∠D.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
AB＝DC
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB
∠A＝∠D
∠AOB＝∠DOC
AB＝DC
仿例2
∴OA＝OD.
随堂练习
1.已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB.
求证：△ABC≌△DCB.
A
B
C
D
1
2
∴△ABC≌△DCB（ASA）
∠1=∠2（已知）
BC=BC(公共边)
∠ABC=∠DCB（已知）
证明：
在△ABC和△DCB中，
2.已知：如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，点D为垂足.
求证：△ABD≌△ACD.
A
B
C
D
∴△ABD≌△ACD （ASA）
∠ BAD =∠ CAD （已知）
AD=AD(公共边)
∠BDA=∠CDA （已证）
证明：
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠CDA=90°
3.两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别对应相等.
求证这两个三角形全等.
证明：如图
A
B
C
E
F
D
已知：
求证：△ABC≌ △ DEF
AC=DF
∠A=∠D
∠ABC=∠DEF=90°
4.已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，
AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明： ∵ AB∥DC，
∴ ∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF （ASA）
∠A=∠C，
AB=CD，
∠B=∠D，
5.已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线. 求证：CF=C′F′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴ AC=A′C′，
∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ CF=C′F′.
又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，
∴ ∠ACF=∠A′C′F′
∴ △ACF≌△A′C′F′
6.如图,已知AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E, 求证：BC=ED.
证明：∵∠1=∠2，
A
B
E
C
D
1
2
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
在△AED和△ABC中，
∵
∠E=∠B，
AE=AB，
∠EAD=∠BAC，
∴△AED≌△ABC(ASA)，
∴BC=ED.
三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
两角及其夹边分别相等的两个三角形
课堂小结
应用：证明角相等，边相等