沪科版八年级数学上册 14.2.5 两个直角三角形全等的判定 课件(共19张PPT)

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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第5课时 两个直角三角形全等的判定
旧知回顾
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答：共四种：SAS、ASA、SSS、AAS .
1.我们学过的证明一般三角形全等的方法有哪几种？
证明：在△ABC和△DEF中，
2.已知如右图所示，BC＝EF，AB⊥BE，垂足为B， DE⊥BE，垂足为E，AB＝DE.求证：AC＝DF.
将题中AB＝DE改成AC＝DF, 这两个三角形全等吗？
AB＝DE，
∠B＝∠E＝90°，
BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS )，
∴AC＝DF.
探究新知
直角三角形全等的判定
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
画一画
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
作法：
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
B′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
A′
（4）连接A′B′
知识归纳
“斜边、直角边”判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
例题与练习
范例1
如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D＝90°，欲证明△ABE≌△DCE，可以先利用“HL”说明 ≌ ，得到AB＝CD，再利用“ ”证明△ABE≌△DCE.
△ABC
△DCB
AAS
如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则△CED≌ ，AC＝ ，∠B＝ ．
△ABC
CD
∠DEC
范例2
如图，AD＝BC，AE＝CF，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F. 求证：BE＝DF.
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.
在Rt△AED和Rt△CFB中，
AD＝BC，
AE＝CF，
∴Rt△AED≌Rt△CFB (HL)，
∴DE＝BF，
∴DE＋EF＝BF＋EF，即DF＝BE.
范例3
HL的判定与三角形全等的判定的综合运用
例1
证明： ∵∠BAC=∠CDB=90°，
AC=DB,
BC=CB .
在 Rt△BCD 和Rt△CBA中，
∴ Rt△BCD≌Rt△CBA (HL).
B
C
A
D
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
如图，∠BAC=∠CDB=90°， AC﹦DB，求证：AB﹦DC.
∴△BAC,△CDB都是直角三角形.
∴ AB﹦DC.
如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F，那么CE＝DF吗？
典例
解：CE＝DF.
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AD＝BC，
AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴∠CAE＝∠DBF，AC＝BD.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°，
在△AEC和△BFD中，
∠CAE＝∠DBF，
∠AEC＝∠BFD，
AC＝BD，
∴△AEC≌△BFD(AAS)
∴CE＝DF.
仿例1
如图，点D、A、E在直线MN上，AB＝AC，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，且BD＝AE.求证：DE＝BD＋EC.
证明：
∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
AB＝AC，
BD＝AE，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝EA＋AD＝BD＋EC.
仿例2
如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD.
(1)求证：BD平分EF.
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
证明：
(1)∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠DEC＝90°，
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF, 即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB＝CD，
AF＝CE，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴BF＝DE.
在△BFG和△DEG中，
∠BGF＝∠DGE，
∠BFG＝∠DEG，
BF＝DE，
∴△BFG≌△DEG(AAS)
∴FG＝EG，
∴BD平分EF.
(2)仍然成立．
理由：∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE，
由HL知Rt△AFB≌Rt△CED，
∴BF＝DE，
由于∠BFG＝∠DEG＝90°，
∠BGF＝∠DGE，
∴△BFG≌△DEG(AAS)，
∴FG＝EG，
∴BD平分EF .
随堂练习
已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.
求证：AB//DC.
A
B
C
D
O
证明：∵ AC⊥BD于点O，
∴∠AOB=∠DOC=90°
△AOB和△COD都是直角三角形
∵ OA=OC，AB=CD.
∴△AOB≌△COD
∴∠A=∠C
∴AB//DC.
2.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
A
F
C
E
D
B
3.如图，AB=CD ，BF⊥AC ，DE⊥AC ，AE=CF.
求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
使用方法
“斜边、直角边”
课堂小结
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）