沪科版八年级数学上册 14.2.6 全等三角形判定方法的综合运用 课件(共17张PPT)

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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第6课时 全等三角形判定方法的综合运用
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1.判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
(1)“SAS ”:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2)“ASA ”:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
(3)“SSS ”:三边对应相等的两个三角形全等；
(4)“AAS ”:两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；
(5)“HL ”:斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
(4)若AC＝BD,AE＝BF,CE＝DF,则△ACE≌△BDF,
根据 ；
(5)若AC＝BD,CE＝DF(或AE＝BF),则△ACE≌△BDF,
根据 ．
AAS
ASA
SAS
SSS
HL
(1)若AC∥DB,且AC＝DB,则 △ACE≌△BDF,根据 ；
(2)若AC∥DB, AE＝BF,则△ACE≌△BDF,
根据 ；
(3)若AE＝BF,且CE＝DF,则△ACE≌△BDF,根据 ；
探究新知
运用两次全等证明边或角相等
已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.
求证：BF=DE.
分析：本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出∠1=∠2，再由“边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证出BF=DE.
证明：在△ABC和△CDA中
AB=CD(已知)
在△BCF和△DAE中
BC=DA(已知)
∵ BC=DA（已知）CA=AC（公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)
∵ ∠1=∠2（已证）CF=AE（已知）
∴△BCF≌△DAE(SAS)
∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)
知识归纳
运用两次全等证明边或角相等应注意
所要证明的边或角所在的两个三角形不能直接证明全等，需要先根据条件证明另外两个三角形全等后，得出条件再证它们全等．
例
例题与练习
证明：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.求证：AD＝ A′D′ .
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
证明： ∵△ABC≌△A′B′C′（已知）
∴AB=A′B′，∠B=∠B′
（全等三角形的对应边、对应角相等）
∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）
在△ABD和△A′B′D′中
∠B=∠B′(已证)
∠ADB=∠A′D′B′（已证）
AB=A′B′（已证）
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)
∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
典例
在△ABC中，AB＝AC，AE交BC于点E，D是AE上一点，
BD＝CD.求证：AE⊥BC.
证明：在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，
BD＝CD，
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABE和△ACE中，
AB＝AC
∠BAE＝∠CAE
AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE (SAS)
∴∠AEB＝∠AEC，
∵∠AEB＋∠AEC＝180°
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC.
仿例1
已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
求证：△ABE≌△ADE.
证明：在△DEC和△BEC中,
∠3＝∠4，
EC＝EC，
∠1＝∠2，
∴△DEC≌△BEC(ASA)，
∴DE＝BE.
∵∠3＝∠4，
∴180°-∠3＝180°-∠4,
即∠AED＝∠AEB.
在△AED和△AEB中，
AE＝AE，
∠AED＝∠AEB，
DE＝BE，
∴△AED≌△AEB (SAS)
仿例2
如图，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF，点E、A、O、D、F在同一条直线上，求证：EB∥CF.
证明：因为AB∥CD(已知)，
所以∠3＝∠4.
在△DCO和△ABO中，
∠3＝∠4，
OD＝OA，
∠1＝∠2，
∴△DCO≌△ABO(ASA)，
∴OC＝OB.
又∵AE＝DF，
∴OD＋DF＝OA＋AE，
即OF＝OE，
在△COF和△BOE中，
OC＝OB，
∠1＝∠2，
OF＝OE，
∴△COF≌△BOE(SAS)
∴∠F＝∠E，
∴EB∥CF.
旋转90°型三角形全等的证明
△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，且B、C、D在同一直线上．求证：EC⊥BD.
典例1
证明：∵△ABC和△EAD为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠AEC＝∠ADB，
又∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠HCD＝90°，
∴EC⊥BD.
典例2
△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB于点D，点E、F分别在AC、BC上，若DE⊥DF，求证：AE＝CF .
分析：由图观察，△ADE与△CDF为旋转90°关系．
证明：∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∴∠A＝∠B＝45°.
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝∠ACD＝45°，
∴DA＝DC.
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°.
又∵∠ADE＋∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∠A＝∠DCF＝45°
DA＝DC
∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF(ASA)
∴AE＝CF .
随堂练习
已知：如图，AB=AC ， AD是△ABC的角平分线，
求证：BD=CD.
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
(已知)
(已证)
(已证)
∴ BD=CD.
A
B
C
D
2.已知：如图，AB=AC ， BD=CD，求证： ∠ BAD= ∠ CAD.
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知)
(公共边)
(已知)
A
B
C
D
3.已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，
求证： BE=CE.
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知)
(公共边)
(已证)
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴△ABE≌△ACE (SAS)
A
B
C
D
E
课堂小结
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)