3.1 函数的概念（函数的值域与最值）教案

三、函数的值域与最值
【教学目的】
理解函数值，函数值域和函数最值的定义，掌握求函数值，函数值域和函数最值的基本方法，能够运用函数值，函数值域和函数最值的基本知识解答相关的数学问题。
重点：函数值，函数值域和函数最值的定义，求函数值，函数值域和函数最值的基本方法。
难点：分段函数和抽象函数函数值的求法，求函数值域和函数最值问题的类型与解法。
【知识精讲】
一、函数的值域：
1、函数值的定义与求法：
(1)函数值的定义：
与自变量x相对应的y的值，叫做函数值。
（2）函数值的求法：
求函数值常见的类型有：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求函数值；③抽象函数求函数值。
已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：1》把给定的自变量x的值代入函数解析式；2》通过运算求出函数的值；
分段函数求值的基本方法是：1》确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上确定函数符合的解析式；2》把自变量代入确定的解析式，并通过运算求出函数值；
③抽象函数求值的基本方法是赋值法，其具体步骤为：1》确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；2》确定求各个自变量函数值时需要赋的值；3》求出所求自变量的函数值。
2、函数的值域的定义与求法：
（1）函数值域的定义：
所有函数值构成的集合，叫做函数的值域；
（2）函数值域的求法：
求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导函数求函数值域。
二、函数的最值：
1、函数最值的定义：
（1）函数最大值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的自变量x∈A，都有f(x)≤M成立，且存在∈A，使f()=M，则称M是函数f(x)的最大值；
（2）函数最小值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的自变量x∈A，都有f(x)≥N成立，且存在∈A，使f()=N，则称N是函数f(x)的最小值 。
2、函数最值的求法：
求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ，那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()= ；
2、已知函数f(x)=a- ，a为一个正的常数，且f(f())=-，则a的值为 ；
3、设函数f(x)= 2+2，g(x)= ，则g(f(2))= ；
4、已知f(x)= +2x+3。
求：（1）f(2)，f(-2)，f(2)+f(-2)的值； （2）f(a)，f(-a)，f(a)+f(-a)的值。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知函数的解析式，求函数值的问题，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握已知函数解析式，求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值。
〔练习1〕解答下列各题：
1、已知f(x)= 2+4x+1，求f(3)的值；
2、已知f(x)= 3-5x+2，求f(-)，f(-a)，f(a+3)，f(a) +f(3)的值；
3、已知函数f(x)= 。
（1）判断点（3,14）是否在f(x)的图像上；
（2）当x=4时，求f(x)的值；
（3）当f(x)=2时，求x的值。
4、若f(x)= +bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值；
【典例2】解答下列问题：
1、设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
2、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
3、已知函数f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的较大值，min{ p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（ ）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
4、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，则x= ；
-2x，x＜0，
5、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
6、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦
时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价
（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
7、已知函数f(x)= f(x+1) ，x＜4，求f(2+3)的值。
，x≥4，
『思考问题2』
（1）【典例2】是分段函数的求值问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出函数的值。
〔练习2〕解答下列各题：
1、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
，x≥A，（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）
A 71,25 B 75,16 C 60,25 D 60，16
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）
lnx，x≥1，
A （-，-1］ B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；
，x＜1，
4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率（℅）
不超过500元部分 5
超过500元至2000元部分 10
超过2000元至5000部分 15
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？
【典例3】解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy（x、y∈R），且f(1)=2，求f(-2)；
2、已知函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且f(1)=- ，求f(3)和f(-3)的值。
『思考问题3』
（1）【典例3】是抽象函数的求值问题，解答这类问题需要理解抽象函数的定义，注意抽象函数的结构特征，掌握抽象函数求值的基本方法；
（2）抽象函数求值的基本方法是赋值法，其具体步骤为：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
〔练习3〕解答下列各题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)（x、y∈R），且f(2)=1，求f(-4)；
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,求f(-3)的值。
【典例4】解答下列问题：
1、求函数y=的值域；
2、求函数y= 的值域；
3、求函数y= 的值域；
4、求函数y= 的值域。
『思考问题4』
（1）【典例4】1，2的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的二次项；
（2）【典例4】3的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有三角函数；
（3）【典例4】4的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有指数函数；
（4）【典例4】1，2求值域时利用了基本函数f(x)=的值域，【典例4】3求值域时利用了基本函数f(x)=sinx的值域，③【典例4】4求值域时利用了基本函数f(x)= 的值域；
(5) 【典例4】求值域的方法是利用基本函数的值域求函数值域，它的基本方法是：①将函数的解析式化为某一基本函数关于y的解析式；②根据该基本函数的值域得到关于y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出原函数的值域。
〔练习4〕解答下列各题：
1、求函数y=的值域； 2、求函数y= 的值域；
3、求函数y=的值域； 4、求函数y= 的值域。
【典例5】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
2、求函数y=的值域。
『思考问题5』
（1）【典例5】中两个函数的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的一次项；
(2) 【典例5】求值域的方法称为分离常数法；它的基本方法是：①确定分离的常数（一般是一个分数，分数的分子是解析式中分子含x项的系数，分母是解析式中分母含x项的系数）；②对解析式的分子提取确定的常数的公因式，使括号中的两项与解析式的分母相同；③将函数的分式写出两个分式的和，从而分离出常数；④求出余下分式的值域，就可求出函数的值域。
〔练习5〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域； 2、求函数y=的值域。
【典例6】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
2、求函数y= 的值域。
『思考问题6』
（1）【典例6】中两个函数的共同特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母
中既含自变量x的二次项，又含自变量x的一次项；
（2）求这种函数的值域主要采用判别式法，它的基本方法是：①将函数y视为常数，把函
数的解析式化为关于自变量x的一元二次方程；②根据自变量x是实数，得到判别式0关
于函数y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数的值域（注意
验证二次项系数为0时，函数y的值是否成立）。
〔练习6〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域； 2、求函数y= 的值域。
【典例7】解答下列问题：
1、求函数y=1-x（1-x）的值域；
2、求函数y=-2+4x+2的值域；
3、求函数y=+3x+1的值域；
4、求函数y=-+x+3的值域。
『思考问题7』
（1）【典例7】几个函数的共同特点是：函数解析式是关于自变量x的二次式，求这类函数
值域的基本方法是配方法；
（2）配方法的基本方法是：①将二次项的系数提到括号外面并在括号内加上一次项系数一
半的平方使括号内的二次三项式能够配成完全平方式，在括号外减去二次项系数与括号内常
数的乘积；②把括号中的二次三项式配成完全平方式；③根据实数的平方为非负数，得到函
数的取值范围；④求出函数的值域。
〔练习7〕解答下列各题：
1、求函数y=1+x（1-x）的值域； 2、求函数y=2-3x+2的值域；
3、求函数y=-3x+1的值域； 4、求函数y=-+2x+3的值域；
5、求函数y=2+3x+2的值域。
【典例8】解答下列问题：
1、求函数y=2x-1- 的值域；
2、求函数y=4 x-1+的值域；
3、求函数y=x+ 的值域；
4、已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为 。
『思考问题8』
【典例8】几个函数的共同特点是解析式中含有二次根式，求这类函数求值域主要采用
换元法；
（2）换元法的基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式，则设新元为整个二次根
式；若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数）；②求出新元的取值范围，同时进
行换元；③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④求出原函数的值域。
〔练习8〕解答下列各题：
1、求函数y=2x- 的值域； 2、求函数y=x-+1+的值域；
3、求函数y=x+ 的值域； 4、求函数y=x- 的值域。
【典例9】解答下列问题：
1、设x，y为实数，若4++xy=1，则2x+y的最大值是 。
2、求函数y= -1的值域。
『思考问题9』
(1) 【典例9】两个函数的共同特点是解析式中某部分具有基本不等式的条件，求这类函数
值域时主要运用基本不等式；
（2）运用基本不等式求值域的基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部分；② 运用基本不等式求出该部分的取值范围；③根据②中的结果确定函数的取值范围；④求出函数的值域。
〔练习9〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= 的值域为R，则m的取值范围是（ ）
A （- ,-2） B （-2,2） C〔2,+ ） D（- ,+ ）
2、已知x＞0，y＞0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为（ ）
A B 2 C D 2
【典例10】解答下列问题：
1、已知a＞0，设函数f(x)= （x）的最大值为M，最小值为N，那么M+N= ；
2、求函数y= 的值域.。
『思考问题10』
(1) 【典例10】中几个函数的共同特点是函数在定义域上的单调性容易判断，求这类函数值域时主要运用函数的单调性；
（2）利用函数的单调性求函数值域的基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的取值范围；④求出函数的值域。
〔练习10〕解答下列各题：
1、已知g(x)=- -4，f(x)为二次函数，满足：f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0，且f(x)在〔-1,2〕上的最大值为7，则f(x)= 。
2、设二次函数f(x)=a-4x+c的值域为〔0,+ ），则u=的最小值为
。
3、求函数y= 的值域；
【典例11】解答下列问题：
1、用min｛a,b,c｝表示a、b、c 三个数中的最小值，设f(x)=min｛,x+2,10-x｝ (x≥0)，则f(x)的最大值为 ；
2、求函数y= ，x 〔2,5〕的值域；
3、求函数y=+的值域。
『思考问题11』
（1）【典例11】中1求值域的方法是数形结合法，它的基本方法是：①作出问题中函数的
图像；②运用函数图像确定函数的最值；③求出函数的值域；
（2）【典例11】中2求值域的方法是逐层求值域法，它的基本方法是：①把函数的解析式分成几个部分；②求出其中某个部分的值域；③将②中求得的结果代入函数解析式求出函数的取值范围；④求出函数的值域。
（3）【典例11】中3求值域的方法是运用韦达定理构造一元二次方程，根据一元二次方程
的相关知识求函数值域的方法，它的基本方法是：①设出两个新元（每一个二次根式为一
个新元）；②根据条件求出两个新元的和与积；③运用韦达定理构造一个一元二次方程；④
由两个新元为非负数的条件得到关于函数y的不等式（或不等式组）；⑤求解不等式（或不
等式组）求出y的取值范围；⑥求出函数的值域。
〔练习11〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的值域；
2、求函数y=的值域；
3、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值.。
【典例12】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ， x≤1，则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 ；
x+-6，x＞1，
2、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)？
3、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的最大值和最小值；
4、设实数x、y满足等式=3，求的最值；
5、求函数f(x)=x+2+的最值；
6、函数f(x)= -+2，x＜1，的最大值为 ；
，x≥1,
7、已知函数y=的最大值为M，最小值为m，求的值；
8、已知非负实数x，y，z满足x+y+z=30，x-2y+3z=20，求x+2y+4z的最大值和最小值；
9、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；
10、设a＞1，求函数f(x)= 在区间〔2,4〕上的最大值和最小值；
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性并求出g(a)的最小值。
12、已知函数f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
『思考问题12』
（1）【典例12】是求函数的最大值与最小值的问题，解答这类问题需要理解函数最大值与最小值的定义，掌握求函数最大值与最小值的基本方法；
（2）函数的最值实际上就是函数值域的端点值，求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值；
（3）根据函数最值与函数值域之间的关系，求函数值域的方法也是求函数最值的方法，解决这类问题关键是要掌握求函数值域各种类型的特点和处理的方法。
〔练习12〕解答下列各题：
1、某汽车租赁公司的月收益y元与每辆汽车的月租金x元之间的关系为y= +162x-21000，那么，每辆汽车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
2、如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面
积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料 x
总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使
所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的
最大面积是多少？
3、已知函数函数f(x)= -2x（x∈〔2,4〕），求f(x)的最小值；
4、函数f(x)=x+ 的最小值为 ；
5、函数f(x)= （x＞1）的最小值为 ；
6、设k∈R，函数f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值；
7、已知实数x、y满足y=，求的最大值和最小值；
8、若函数f(x)= 。
（1）若f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；
（2）当m＞1时，求函数f(x)的最小值。
【追踪考试】
【典例13】解答下列问题：
已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高 +a，x0，三零诊）
A - B 0 C 1 D
2、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
3、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（1,259）（2021全国高考甲卷）
A 1.5 B 1.2 C 0.8 D 0.6
4、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
5、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）（2019全国高考新课标I）
A 165cm B 175cm C 185cm D 190cm
6、2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系，为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为，月球质量为，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+=（R+r），设=，由于的值很小，因此在近似计算中
3，则r的近似值为（ ）（2019全国高考新课标II（理））
A R B R C R D R
7、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为60元/盒，65元/盒，80元/盒，90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销，一次购买水果的总价达到120元，则顾客少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%。（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付 元；（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 （2019全国高考北京）
8、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x<1，若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为 （2019全 -x-2a，x1，国高考江苏）
『思考问题13』
（1）【典例13】是近几年各类考试中关于函数值，函数值域和函数最值的问题，归结起来
主要包括：①已知函数解析式，求函数值；②已知函数解析式，求函数值域；③已知函数解析式，求函数最值；④已知函数解析式和某一函数值（或函数值域或函数最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型；②根据该类问题的结构特征，采用恰当的方法求解问题；③得出问题的结果。
〔练习13〕解答下列各题：
1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（1,259）（2021全国高考甲卷）
A 1.5 B 1.2 C 0.8 D 0.6
1、某公司在2018年承包了一个工程项目，经统计 月份（月） 2 3 4 5
发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x 所获利润（亿元）89 90 89 86
近似的满足某一函数关系，其中2月到5月所获利润统计如右表：
（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：
① P（x）=a+bx+c ； ② P（x）=a. +c ； ③ P（x）=a x+c 。
请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2018年8月份在这项工程项目中获得的利润；
（2）对（1）中选择的函数模型P（x），若该公司在2018年承包项目的月成本符合函数模型Q（x）= （单位：亿元），求该公司2018年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份（2018—2019成都市高一上期调研考试）
2、某小区拟将如图的一直角三角形ABC区域进行改建，A
在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文 F
化景观，已知AB=20m，AC=10m，则DEF区域面积 D
（单位：）的最小值为( )(2019成都市高三二诊(理)) C E B
A 25 B C D
在平面直角坐标系XOY中，M，N分别是X轴正半轴和y=x(x＞0)图像上的两个动点，且|MN|=，则|OM|+|ON|的最大值是（ ）(2019成都市高三二诊(文))
A 2 B C 4 D 4+2
3、（理）已知函数f(x)= +asinx，a∈R，若f(-1)=2，则f(1)的值等于（ ）
A 2 B -2 C 1+a D 1-a
（文）已知函数f(x)= +3x，若f(-a)=2，则f(a)的值等于（ ）(2019成都市高三三诊)
A 2 B -2 C 1+a D 1-a
4、设函数f(x)= ，x≤0,则满足f(x+1)＜f(2x)的x的取值范围是（ ）（2018全国高考新课标 1，x＞0，I卷（文））
A （-∞，-1］ B （0，+∞） C （-1，0） D （-∞，0）
5、已知f(x)是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+----+f(50)=（ ）（2018全国高考新课标II卷）
A -50 B 0 C 2 D 50
函数的值域与最值
【教学目的】
理解函数值，函数值域和函数最值的定义，掌握求函数值，函数值域和函数最值的基本方法，能够运用函数值，函数值域和函数最值的基本知识解答相关的数学问题。
重点：函数值，函数值域和函数最值的定义，求函数值，函数值域和函数最值的基本方法。
难点：分段函数和抽象函数函数值的求法，求函数值域和函数最值问题的类型与解法。
【知识精讲】
一、函数的值域：
（一）函数值的定义与求法：
1、函数值的定义：
与自变量x相对应的函数y的值，叫做函数值。
2、函数值的求法：
求函数值常见的类型有：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求函数值；③抽象函数求函数值。
（1）已知函数的解析式，求函数值的方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值；
（2）分段函数求值的方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上确定函数符合的解析式；②把自变量代入确定的解析式，并通过运算求出函数值；
（3）抽象函数求值的基本方法是赋值法，具体步骤为：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求的函数值。
（二）函数的值域的定义与求法：
1、函数值域的定义：
所有函数值构成的集合，叫做函数的值域。
2、函数值域的求法：
求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导数求函数值域。
二、函数的最值：
(一)函数最值的定义：
1、函数最大值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，都有f(x)≤M成立，且存在∈A，使f()=M，则称M是函数f(x)的最大值；
2、函数最小值的定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，都有f(x)≥N成立，且存在∈A，使f()=N，则称N是函数f(x)的最小值 。
（二）函数最值的求法：
求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ，那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()= ；
【解析】
【知识点】①倒数的定义与性质；②函数值定义与性质；③求函数值的基本求法。
【解题思路】根据2与，3与，4与互为倒数，f(x)+f（）=+=
+=1，就可求出f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()的值。
【详细解答】2与，3与，4与互为倒数，f(x)+f（）=+=
+=1， f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=f(1)+3=+3=。
2、已知函数f(x)=a- ，a为一个正的常数，且f(f())=-，则a的值为 ；
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②求函数值的基本方法；③求解方程的基本方法。
【解题思路】根据函数值的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，运用求解方程的基本方法求解方程，就可求出a的值。
【详细解答】 f()=a-=2a-， f()=f（2a-）=a-=
4-4+2a-=-，4-4+2a=0，a=0或a=，a＞0， a=。
3、设函数f(x)= 2+2，g(x)= ，则g(f(2))= ；
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②复合函数定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数值的性质和求函数值的基本方法，求出f(2)的值，运用复合函数的性质，就可求出 g(f(2))的值。
【详细解答】 f(2)=2+2=10， g(f(2))=g（10）= = 。
4、已知f(x)=+2x+3。
求：（1）f(2)，f(-2)，f(2)+f(-2)的值； （2）f(a)，f(-a)，f(a)+f(-a)的值。
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数值的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件求出f(2)，f(-2)的值，从而求出 f(2)+f(-2)的值；（2）根据函数值的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件得到f(a)，f(-a)的表示式，从而求出 f(a)+f(-a) 的表示式。
【详细解答】（1） f(2)= +22+3=11，f(-2)= +2（-2）+3=3， f(2)+f(-2)=11+3=14，（2）f(a)= +2a+3，f(-a)= -2a+3=-2a+3， f(a)+f(-a)
=2+6。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知函数的解析式，求函数值的问题，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握已知函数解析式，求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出函数的值。
〔练习1〕解答下列各题：
1、已知f(x)= 2+4x+1，求f(3)的值；（答案：f(3)=31）
2、已知f(x)= 3-5x+2，求f(-)，f(-a)，f(a+3)，f(a) +f(3)的值；（答案：f(-)=8+5，f(-a)=3+5a+2，f(a+3)= 3+13a+14，f(a) +f(3)= 3-5a+16）
3、已知函数f(x)= 。
（1）判断点（3,14）是否在f(x)的图像上；（答案：点（3,14）不在f(x)的图像上）
（2）当x=4时，求f(x)的值；（答案：f(4)=-3）
（3）当f(x)=2时，求x的值。（答案：当f(x)=2时，x=14）
4、若f(x)= +bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值；（答案：f(-1)=8）
【典例2】解答下列问题：
1、设函数f(x)= 3x-1，x＜1，则满足f(f(a))= ，的a的取值范围是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法；
④指数的定义与性质；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】①当a＜时，根据f(a)=3a-1＜1，得到 f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，②当 a＜1时，根据f(a)=3a-1＞1，得到 f(f(a))=f(3a-1)= =，③当a≥1，根据f(a)= ＞1，得到 f(f(a))=f()==，从而得到当f(f(a))= 时，实数a的取值范围。
【详细解答】①当a＜时，由f(a)=3a-1＜1， f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，②当 a＜1时，由f(a)=3a-1＞1， f(f(a))=f(3a-1)= =，③当a≥1，由f(a)= ＞1， f(f(a))=f()==，综上所述，当f(f(a))= 时，实数a的取值范围是［，+），C正确，选C。
2、设函数f(x)= +1，x1，则f(f(3))=（ ）
A ，x＞1，B 3 C D
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据3＞1，得到 f(3)=，根据＜1，得到 f()=+1= ，求出 f(f(3))=的值就可得出选项。
【详细解答】3＞1，f(3)=，＜1，f()=+1= ，即 f(f(3))= f()=+1=，D正确，选D。
3、已知函数f(x)= -2（a+2）x+，g(x)=-+2（a-2）x-+8，设（x）=max{ f(x)，g(x)}，（x）=min{ f(x)，g(x)}，max{ p，q}表示p，q中的较大值，min{ p，q}表示p，q中的较小值，记（x）的最小值为A，（x）的最大值为B，则A-B=（ ）
A 16 B -16 C -2a-16 D +2a-16
【解析】
【知识点】①函数图像的定义与作法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数最值的基本方法；④一元二次函数的定义与性质；⑤求函数最值的基本方法；⑥数形结合的数学思想及运用。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数f(x) y
与g(x)的图像如图所示：由函数f(x)图像的顶点
坐标为（a+2，-4a-4），函数g(x)图像的顶点坐标
为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另
一个函数的图像上，由A，B分别是二次函数f(x)， g(x) f(x)
g(x)的顶点的纵坐标，求出 A-B的值就可得出选项。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数f(x)与 0 x
g(x)的图像如图所示：函数f(x)图像的顶点坐标为
（a+2，-4a-4），g(x)图像的顶点坐标为（a-2，-4a+12），且每个函数图像的顶点都在另一个函数的图像上，由题意可知A，B分别是二次函数f(x)，g(x)的顶点的纵坐标， A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16，B正确，选B。
4、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为 ；
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法；
④求解方程的基本方法；⑤参数分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】根据a0，①当a＞0时，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
【详细解答】 a0，①当a＞0时，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
5、已知函数f(x)= +1，x≥0，若f(x)=10，则x= ；
-2x，x＜0，
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，从而得到当f(x)=10时，x=3或x=-5。
【详细解答】 f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，综上所述，当f(x)=10时，x=3或x=-5。
6、已知函数f(x)= f(x+1) ，x＜4，求f(2+3)的值；
，x≥4，
【解析】
【知识点】①求函数值的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法；④对数的定义与性质。
【解题思路】由3＜2+3＜4，得到 f(2+3)= f(2+3+1)= f(3+3)，根据4＜3+3＜5，得到 f(3+3)= ===。
【详细解答】3＜2+3＜4， f(2+3)= f(2+3+1)= f(3+3)，4＜3+3＜5， f(3+3)= ===。
7、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦
时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价
（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时）
50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388
【解析】
【知识点】①求函数解析式的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求分段函数值的基本方法。
【解题思路】设该家庭高峰时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，低谷时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，该家庭本月应付的电费为y元，根据求函数解析式的基本方法分别求出，的解析式，运用分段函数的性质和求分段函数值的基本方法分别求出 ，的值就可求出该家庭本月应付的电费。
【详细解答】设该家庭高峰时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，低谷时间段的用电量为千瓦时，应付电费为，该家庭本月应付的电费为y元，由题意可得：
0.568， 0＜50， 0.288， 0＜50，
= 28.40+0.598（-50），50＜250， = 14.40+0.318（-50），50＜250，
118.10+0.668（-250），＞250， 62.10+0.3888（-250），＞250，
y=+=28.40+0.598150+14.40+0.31850=148.40（元）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是分段函数的求值问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；
（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出函数的值。
〔练习2〕解答下列各题：
1、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ，x＜A，
，x≥A，（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（ ）（答案：D）
A 71,25 B 75,16 C 60,25 D 60，16
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（ ）（答案：A）
A（-，-1］ lnx，x≥1，B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、设函数f(x)= ，x≥1，则使得f(x) 2成立的x的取值范围是 ；
，x＜1，（答案：使得f(x) 2成立的x的取值范围是（-，8］）
4、《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额。此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额 税率（℅）
不超过500元部分 5
超过500元至2000元部分 10
超过2000元至5000部分 15
某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？（答案：该工人当月的工资是2517.8元）
【典例3】解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy（x、y∈R），且f(1)=2，求f(-2)；
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②抽象函数求值的基本方法；③数学赋值法及运用。
【解题思路】根据1+（-1）=0，令x=y=0，f(0+0)=f(0)+f(0)+0，得到 f(0)=0，令x=1，y=-1，f(1-1)=f(1)+f(-1)+21（-1），得到f(-1)=0，令 x=y=-1，f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+ 2（-1）（-1），就可求出f(-2)的值。
【详细解答】1+（-1）=0，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)+0， f(0)=0，令x=1，y=-1，得到f(1-1)=f(1)+f(-1)+21（-1）， f(-1)=0，令 x=y=-1，得到f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+ 2（-1）（-1）， f(-2)=2。
2、已知函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且f(1)=- ，求f(3)和f(-3)的值。
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②抽象函数求值的基本方法；③数学赋值法及运用。
【解题思路】根据1+1=2，令x=y=1，f(1)+f(1)=f(1+1)，得到 f(2)=- ，令x=1，y=2，f(1)+f(2)+=f(1+2)，得到 f(3)=- -=-2，令 x=y=0，f(0)+f(0)=f(0+0)，得到 f(0)=0，；令x=3，y=-3，f(3)+f(-3)=f(3-3)，就可求出 f(-3)的值。
【详细解答】1+1=2，令x=y=1，得到f(1)+f(1)=f(1+1)， f(2)=- ，令x=1，y=2，得到f(1)+f(2)+=f(1+2)， f(3)=- -=-2，0+0=0，令 x=y=0，f(0)+f(0)=f(0+0)， f(0)=0，；令x=3，y=-3，得到f(3)+f(-3)=f(3-3)， f(-3)=2。
『思考问题3』
（1）【典例3】是抽象函数的求值问题，解答这类问题需要理解抽象函数的定义，注意抽象函数的结构特征，掌握抽象函数求值的基本方法；
（2）抽象函数求值的基本方法是赋值法，具体步骤为：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
〔练习3〕解答下列各题：
1、定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)（x、y∈R），且f(2)=1，求f(-4)；（答案：f(-4)=2）
2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,求f(-3)的值。（答案：f(-3)=-6）
【典例4】解答下列问题：
1、求函数y=的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②一元二次函数的定义与性质；③求解不等式或不等式组的基本方法。
【解题思路】由2+2， y= 2y+y=1，=，根据0，0，0＜y，函数y= 的值域为（0，］。
【详细解答】2+2， y= 2y+y=1，=，0，0，0＜y，函数y= 的值域为（0，］。
2、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②正弦函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】由1+1， y= y+y=1-，=，根据0，
0，-1＜y1，函数y= 的值域为（-1，1］。
【详细解答】1+1， y= y+y=1-，=，0，
0，-1＜y1，函数y= 的值域为（-1，1］。
3、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②一元二次函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】由12-cosx3， y= ，2y-ycosx=sinx，sin（x+）=，根据| sin（x+）|1，||1，-y，函数y= 的值域为［-，］。
【详细解答】12-cosx3， y= ，2y-ycosx=sinx，sin（x+）=，| sin（x+）|1，||1，-y，函数y= 的值域为［-，］。
4、求函数y= 的值域。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②指数函数的定义与性质；③不等式或不等式组的解法。
【解题思路】由1+＞1， y= y+y=1-，=，根据＞0，
＞0，-1＜y＜1，函数y= 的值域为（-1，1）。
【详细解答】1+＞1， y= y+y=1-，=，＞0，
＞0，-1＜y＜1，函数y= 的值域为（-1，1）。
『思考问题4』
（1）【典例4】1，2的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的二次项；
（2）【典例4】3的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有三角函数；
（3）【典例4】4的特点是：①函数的解析式是分式；②分式分子，分母中含有指数函数；
（4）【典例4】1，2求值域时利用了基本函数f(x)=的值域，【典例4】3求值域时利用了基本函数f(x)=sinx的值域，③【典例4】4求值域时利用了基本函数f(x)= 的值域；
(5) 【典例4】求值域的方法是利用基本函数的值域求函数值域，它的基本方法是：①将函数的解析式化为某一基本函数关于y的解析式；②根据该基本函数的值域得到关于y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出原函数的值域。
〔练习4〕解答下列各题：
1、求函数y=的值域；（答案：函数y的值域为（0，］）
2、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为［-，］）
3、求函数y=的值域； （答案：函数y的值域为（-1，］）
4、求函数y= 的值域。（答案：函数y的值域为（0，））
【典例5】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②分离常数的确定；③分离常数法的基本方法。
【解题思路】由解析式中分子，分母一次项的系数可得分离的常数为， y=
= =+，根据0，y，函数y= 的值域为（-，）（，+）。
【详细解答】解析式中分子，分母一次项的系数可得分离的常数为， y=
= =+，0，y，函数y= 的值域为（-，）（，+）。
2、求函数y=的值域。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②确定分离常数的基本方法；③分离常数法的基本方法。
【解题思路】根据分子的性质和确定分离常数的基本方法，结合问题条件得到分离的常数，运用分离常数法的基本方法就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】由解析式中分子，分母一次项的系数可得分离的常数为， y==
=+， 0，y，函数y= 的值域为（-，）（，+）。
『思考问题5』
（1）【典例5】中两个函数的共同特点是：①函数解析式是分式；②分式分子，分母中只含自变量x的一次项；
(2) 【典例5】求值域的方法称为分离常数法；它的基本方法是：①确定分离的常数（一般是一个分数，分数的分子是解析式中分子含x项的系数，分母是解析式中分母含x项的系数）；②对解析式的分子提取确定的常数的公因式，使括号中的两项与解析式的分母相同；③将函数的分式写出两个分式的和，从而分离出常数；④求出余下分式的值域，得到函数的值域。
〔练习5〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域； （答案：函数y的值域为 （-，1）（1，+））
2、求函数y=的值域。（答案：函数y的值域为 （-，）（，+））
【典例6】解答下列问题：
1、求函数y= 的值域；
【解析】
【知识点】①分式定义与性质，②配方法的基本方法；③一元二次方程根的判别式及运用；④判别式法的基本方法。
【解题思路】根据分式的性质和配方法的基本方法，得到-x+1=+，从而得到 y= ，y（-x+1）=-x，（y-1）-（y-1）x+y=0，运用一元二次方程判别式和判别式法的基本方法，得到 =-4y（y-1）0，求解不等式求出 -y1，当y=1时，方程（y-1）-（y-1）x+y=0， 0-0+1=0显然不成立，从而得到 -y＜1，就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】-x+1=+， y= ，y（-x+1）=-x，（y-1）-（y-1）x+y=0，x是实数，=-4y（y-1）0，-y1，
当y=1时，方程 （y-1）-（y-1）x+y=0，0-0+1=0显然不成立，-y＜1，即函数y= 的值域为［-，1）。
2、求函数y= 的值域。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质，②配方法的基本方法；③一元二次方程根的判别式及运用；④判别式法的基本方法。
【解题思路】根据分式的性质和配方法的基本方法，得到+2x+3=+22，从而得到 y= ，y（+2x+3）=2+4x，（y-2）+2（y-2）x+3y=0，运用一元二次方程判别式和判别式法的基本方法由，得到= 4-12y（y-2）0，求解不等式求出 -1y2，当y=2时，方程（y-2）+2（y-2）x+3y=0，0+0+6=0显然不成立，从而求出 -1y＜2，就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】+2x+3=+22， y= ，y（+2x+3）=2+4x，
（y-2）+2（y-2）x+3y=0，x是实数，= 4-12y（y-2）0，-1y2，
当y=2时，方程（y-2）+2（y-2）x+3y=0，0+0+6=0显然不成立，-1y＜2，即函数y= 的值域为［-1，2）。
『思考问题4』
（1）【典例6】中两个函数的共同特点是：①函数的解析式是分式式；②分式分子，分母
既含自变量x的二次项，又含自变量x的一次项；
（2）求这种函数的值域主要采用判别式法，它的基本方法是：①将函数y视为常数，把函
数的解析式化为关于自变量x的一元二次方程；②根据自变量x是实数，得到判别式0关
于函数y的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）；④求出函数的值域（注意
验证二次项系数为0时，函数y的值是否成立）。
〔练习6〕解答下列各题：
1、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为（2，］）
2、求函数y= 的值域。（答案：函数y的值域为［-，1））
【典例7】解答下列问题：
1、求函数y=1-x（1-x）的值域；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数值域的基本方法。③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到y=1-x（1-x）=-x+1=+，就可求出函数y=1-x（1-x）的值域。
【详细解答】 y=1-x（1-x）=-x+1=+，函数y=1-x（1-x）的值域为
［，+）。
2、求函数y=-2+4x+2的值域；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数值域的基本方法；③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到y=-2+4x+2=-2（+2x+1）+4=-2+44，就可求出函数y=-2+4x+2的值域。
【详细解答】 y=-2+4x+2=-2（-2x+1）+4=-2+44，函数y=-2+4x+2的值域为（-，4］。
3、求函数y=+3x+1的值域；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数值域的基本方法；③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到y=+3x+1=（+6x+9）-=--，就可求出函数y=+3x+1的值域。
【详细解答】 y=+3x+1=（+6x+9）-=--，函数y=+3x+1的值域为［-，+）。
4、求函数y=-+x+3的值域。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数值域的基本方法；③数学配方法及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质和配方法的基本方法，得到 y=-+x+3=-(-4x
+4)+4=-+44，就可求出函数y=-+x+3的值域。
【详细解答】 y=-+x+3=-(-4x+4)+4=-+44，函数y=-+x+3的值域为（-，4］。
『思考问题7』
（1）【典例7】几个函数的共同特点是：解析式是关于自变量x的一元二次式，求这类函数
值域的基本方法是配方法；
（2）配方法的基本方法是：①将二次项的系数提到括号外面并在括号内加上一次项系数一
半的平方使括号内的二次三项式能够配成完全平方式，在括号外减去二次项系数与括号内常
数的乘积；②把括号中的二次三项式配成完全平方式；③根据实数的平方为非负数，得到函
数的取值范围；④求出函数的值域。
〔练习7〕解答下列各题：
1、求函数y=1+x（1-x）的值域； （答案：函数y的值域为（-，］）
2、求函数y=2-3x+2的值域；（答案：函数y的值域为［，+））
3、求函数y=-3x+1的值域； （答案：函数y的值域为［-，+））
4、求函数y=-+2x+3的值域；（答案：函数y的值域为（-，7］）
5、求函数y=2+3x+2的值域。（答案：函数y的值域为［，+））
【典例8】解答下列问题：
1、求函数y=2x-1- 的值域；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②数学换元法及运用；③配方法及运用。
【解题思路】设t=，t［0，+），得到x=，从而得到 y=2-1-t，运用配方法的基本方法求出函数y=2-1-t的值域，就可求出函数y=2x-1- 的值域。
【详细解答】设t=，t［0，+），x=， y=2-1-t=-（+2t+1）+6=-+6，函数y在［0，+）上单调递减，y=-+6-+6，即函数y=2x-1- 的值域为（-，］。
2、求函数y=4 x-1+的值域；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③求一元二次函数值域的基本方法。
【解题思路】设t=，t［0，+），得到x=，从而得到 y=4-1+t=2
+t+5，运用配方法的基本方法求出函数y=2+t+5的值域，就可求出函数y=4 x-1+的值域。
【详细解答】设t=，t［0，+），x=， y=4-1+t=2（+t+）+=2+，函数y=2+在［0，+）上单调递增， y=2+
5，即函数y=4 x-1+的值域为［5，+）。
3、求函数y=x+ 的值域；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③求三角函数值域的基本方法。
【解题思路】设x=sin，x［-，］，得到y=sin+cos，运用求三角函数值域的基本方法求出函数y=sin+cos的值域，就可求出函数y=x+ 的值域。
【详细解答】设x=sin，x［-，］，y=sin+cos=sin(+)，
-y，即函数y=x+ 的值域为［-，］。
4、已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)=f(x)+的值域为 。
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③求一元二次函数值域的基本方法。
【解题思路】设t=，根据f(x) ［，］，得到t［，］，f(x) =，
从而得到y=+t=-+t+，运用配方法的基本方法求出函数y=-+t+在t［，］上的值域，就可求出函数y=f(x)+的值域。
【详细解答】设t=，f(x) ［，］， t［，］，f(x) =，函数y=+t=-(-2t+1)+1=-+1在［，］上单调递增， y，即函数g(x)=f(x)+的值域为［，］。
『思考问题8』
【典例8】几个函数的共同特点是解析式中含有二次根式，求这类函数值域主要采用换
元法；
（2）换元法的基本方法是：①设出新元（若根号下是一元一次式，则设新元为整个二次根
式；若根号下是一元二次式，则设新元为某一三角函数）；②求出新元的取值范围，同时进
行换元；③求出换元后函数的值域（注意新元的取值范围）；④得出原函数的值域。
〔练习8〕解答下列各题：
1、求函数y=2x- 的值域； （答案：函数y的值域为［，+））
2、求函数y=x+1+的值域；（答案：函数y的值域为［，+））
3、求函数y=x+ 的值域； （答案：函数y的值域为［-2，2］）
4、求函数y=x- 的值域。（答案：函数y的值域为（-，］）
【典例9】解答下列问题：
1、设x，y为实数，若4++xy=1，则2x+y的最大值是 。
【解析】
【知识点】①完全平方式及运用；②基本不等式及运用。
【解题思路】根据基本不等式，得到 4+4xy，从而得到 4++xy=15xy，求出 xy的取值范围，运用完全平方式得到4++xy=-3xy=1，求出
=1+3xy1+=，得到 |2x+y|的取值范围，就可求出2x+y的最大值。
【详细解答】 x，y为实数，4+4xy，4++xy=15xy，xy，
4++xy=-3xy=1，=1+3xy1+=， |2x+y|，-2x+y，即 2x+y的最大值为。
2、求函数y= -1的值域；
【解析】
【知识点】①对数函数定义，图像与性质；②基本不等式及运用。
【解题思路】①当x＞1时，根据x＞0，3＞0，运用基本不等式得到 x+32
，从而得到 y= -12-11；②当0＜x＜1时，根据-x＞0，-3＞0，运用基本不等式得到 x+3=-（-x-3）-2
，从而得到 y= -1-2-1-3；综上所述，就可求出函数y= -1的值域。
【详细解答】①当x＞1时，x＞0，3＞0，x+32， y= -12-11；②当0＜x＜1时，-x＞0，-3＞0，x+3=-（-x-3）-2， y= -1-2-1-3；综上所述，当x＞1时，函数y= -1的值域为［1，+）；当0＜x＜1时，函数y= -1的值域为（-，-3］。
『思考问题9』
(1) 【典例9】两个函数的共同特点是解析式中某部分具有基本不等式的条件，求这类函数
值域时主要运用基本不等式求值域；
（2）运用基本不等式求值域的基本方法是：①注意观察，确定具有基本不等式条件的部分；② 运用基本不等式求出该部分的取值范围；③根据②中的结果确定函数的取值范围；④得出函数的值域。
〔练习9〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= 的值域为R，则m的取值范围是（ ）（答案：C）
A （- ,-2） B （-2,2） C〔2,+ ） D（- ,+ ）
2、已知x＞0，y＞0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为（ ）（答案：D）
A B 2 C D 2
【典例10】解答下列问题：
1、已知a＞0，设函数f(x)= （x）的最大值为M，最小值为N，那么M+N= ；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②判断函数单调性的基本方法；③运用函数单调性求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据f(x)= = =2012- ，运用判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)= 2012- 在上的单调性，利用函数单调性求函数值域的基本方法求出函数f(x) 在上的值域，从而得到M，N的值就可求出M+N的值。
【详细解答】 f(x)= = =2012- ，任取，，且＜，f（）-f(）=2012--2012+=
=＜0，函数f(x)= 在上单调递增，M=f(a)= 2012- ，N=f(-a)= 2012- =2012- ，M+N=2012- +2012- =4024-2=4022。
2、求函数y= 的值域.。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②二次根式的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法；④运用函数单调性求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据y= = = + ，设t=，t［2，+），得到函数y=t+，运用判断函数单调性的基本方法判断函数y=t+在［2，+）上的单调性，利用函数单调性求函数值域的基本方法就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】 y= = = + ，设t=，t［2，+），y=t+，任取，［2，+），且＜，f()-f()=+--=(-)
(1-)＜0，函数y=t+在［2，+）单调递增， =2+=，函数y= 的值域为［，+）。
『思考问题10』
(1) 【典例10】中几个函数的共同特点是函数在定义域上的单调性容易判断，求这类函数值域时主要运用函数的单调性；
（2）利用函数的单调性求函数值域的基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的值域；④得出函数的值域。
〔练习10〕解答下列各题：
1、已知g(x)=- -4，f(x)为二次函数，满足：f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0，且f(x)在〔-1,2〕上的最大值为7，则f(x)= 。（答案：f(x)= -2x+4）
2、设二次函数f(x)=a-4x+c的值域为〔0,+ ），则u=的最小值为
。（答案：u的最小值为1）
3、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为［4，+））
【典例11】解答下列问题：
1、用min｛a,b,c｝表示a、b、c 三个数中的最小值，设f(x)=min｛,x+2,10-x｝ (x≥0)，则f(x)的最大值为 ；
【解析】
3、【知识点】①一次函数的定义与性质；②指数函数的定义，图像与性质；③分段函数的定义与性质；④分段函数最值的求法；
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数g(x)= ，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得：，0x2，根据0x2时， y
f(x)= x+2，2＜x4，函数f(x)单调递
10-x，x＞4，增，得到当0x2
时，= f（2）==4；当2＜x4时，函数f(x)
单调递增，得到当2＜x4时，=f（4）=4+2 0 x
=6；当x＞4时，函数f(x)单调递减，得到当 x＞4时，＜f（4）=10-4=6，运用分段函数求最值的基本方法就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数g(x)= ，h（x）=x+2，u(x)=10-x的图像如图所示，由图可得： ，0x2，当0x2时，函数f(x)单调递增， 0x2时，
f(x)= x+2，2＜x4，=f（2）==4；当2＜x4时，函数f(x)单调
10-x，x＞4，递增，2＜x4时，=f（4）=4+2=6；当x＞4时，函数f(x)单调递减， x＞4时，＜f（4）=10-4=6，综上所述，当x≥0时，=f（4）=4+2=6。
2、求函数y= ，x 〔2,5〕的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②一元一次函数的定义与性质；③函数逐层求值域的基本方法。
【解题思路】根据分母为1-2x在〔2,5〕上单调递减，得到当x 〔2,5〕时，-9 1-2x -3， 运用函数逐层求值域的基本方法就可求出函数y= ，x 〔2,5〕的值域。
【详细解答】分母为1-2x在〔2,5〕上单调递减，当x 〔2,5〕时，-9 1-2x -3，--，函数y= 在x 〔2,5〕上的值域为［-，-］。
3、求函数y= 的值域。
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用；④一元二次方程根的判别式及运用；⑤判别式法求函数值域的基本方法。
【解题思路】设t=，t〔0,+ ），u=，u〔0,+ ），得到+ =1-2x+2x+3=4，根据t+u=y，得到 =+2tu+ =4+2tu，从而得到t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个正根，运用一元二次方程根与系数的关系定理和判别式得到关于y的不等式组，求解不等式组就可求出函数y= 的值域。
【详细解答】设t=，t〔0,+ ），u=，u〔0,+ ），+ =1-2x+2x+3=4，t+u=y，=+2tu+ =4+2tu，tu=-2，t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个正根， y= t+u 0①，=-4（-2）=-+80②， tu= -20③，联立①②③解得：2y2，函数y= 的值域为［2，2］。
『思考问题11』
（1）【典例11】中1求值域的方法是数形结合法，它的基本方法是：①作出问题中函数的
图像；②运用函数图像确定函数的最值；③求出函数的值域；
（2）【典例11】中2求值域的方法是逐层求值法，它的基本方法是：①把函数的解析式分成几个部分；②求出其中某个部分的值域；③将②中求得的结果代入函数解析式求出函数的取值范围；④求出函数的值域；
（3）【典例11】中3求值域的方法是运用韦达定理构造一元二次方程，根据一元二次方程
的相关知识求函数值域的方法，它的基本方法是：①设出两个新元（每一个二次根式为一
个新元）；②根据条件求出两个新元的和与积；③运用韦达定理构造一个一元二次方程；④
由两个新元为非负数的条件得到关于函数y的不等式（或不等式组）；⑤求解不等式（或不
等式组）求出y的取值范围；⑥求出函数的值域。
〔练习11〕解答下列各题：
1、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的值域；（答案：函数f(x)的值域为［，2］）
2、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；（答案：函数f(x)的最大值为）
3、求函数y= 的值域；（答案：函数y的值域为［，2］）
【典例12】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ， x≤1，则f(f(-2))= ,f(x)的最小值是 ；
x+-6，x＞1，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求分段函数值的基本方法；③求分段函数最值的基本方法。
【解题思路】根据-2≤1，得到 f(-2)= =4，根据4 ＞1，得到 f(f(-2)) =f(4) =4+
-6=-，①当x≤1时，函数f(x)在（-，0）上单调递减，在（0，1］单调递增，得到 =f（0）=0；②当x＞1时，函数f(x)在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增，得到 =f（）=+-6=2-6＜0，从而得到 =f（）=+-6=2-6。
【详细解答】-2≤1， f(-2)= =4，4 ＞1， f(f(-2))=f(4)=4+-6=-；
①当x≤1时，函数f(x)在（-，0）上单减，在（0，1］单增，=f（0）=0；②当x＞1时，函数f(x)在（1，）上单减，在（，+）上单增，=f（）
=+-6=2-6＜0，=f（）=+-6=2-6。
2、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1m)？
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】由h(t)=-4.9+14.7t+18，可知当t=- =1.5（s）时，为爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度是h(1.5)=-4.9 +14.71.5+18=29.1（m）。
【详细解答】 h(t)=-4.9+14.7t+18，当t=- =1.5（s）时，为爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度是h(1.5)=-4.9 +14.71.5+18=29.1（m）。
3、已知函数f(x)= （x∈〔2,6〕），求函数的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②分层求值域值域的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据x∈〔2,6〕得到1x-15，从而得到 f(x)= 2，求出 =2，=。
【详细解答】 x∈〔2,6〕1x-15， f(x)= 2，=2，=。
4、设实数x，y满足等式=3，求的最值；
【解析】
【知识点】①数学换元法及运用；②一元二次方程根的判别式及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设k=，y=kx，根据x，y满足等式=3，得到（1+）-4x+1=0，
根据x∈R, 得到关于k的不等式，求解不等式求出k的取值范围，就可求出的最值。
【详细解答】设k=，y=kx，x，y满足等式=3，（1+）-4x+1=0，
x∈R, =-4（1+）=-4+120，-k，=，
=-。
5、求函数f(x)=x+2+的最值；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②数学换元法及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t=，t∈〔0,+ ），x=2- ，根据 f(x)=x+2+ f(t)=2-+2+t=- +，得到 =，无最小值。
【详细解答】设t=，t∈〔0,+ ），x=2- ，f(x)=x+2+ f(t)=2-+2+t=
- +，=，无最小值。
6、函数f(x)= -+2，x＜1，的最大值为 ；
【解析】 ，x≥1,
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求分段函数最值的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】①当x≥1时, 根据函数f(x)在〔1,+ ）上单调递减，得到 =f(1)=1；②当x＜1时，根据函数f(x)在（- ，0）上单调递增，在（0，1）单调递减，得到 =f(0)=-0+2=2，由2＞1，从而得到 =f(0)=-0+2=2，无最小值。
【详细解答】①当x≥1时, 函数f(x)在〔1,+ ）上单减，=f(1)=1；②当x＜1时，函数f(x)在（- ，0）上单增，在（0，1）单减，=f(0)=-0+2=2，由2＞1，=f(0)=-0+2=2，无最小值。
7、已知函数y=的最大值为M，最小值为m，求的值；
【解析】
【知识点】①二次根式的定义与性质；②一元二次方程根与系数的关系定理及运用；③一元二次方程根的判别式及运用；④判别式法求函数值域的基本方法；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t=，t［0,2］，u=，u［0,2］，根据+ =1-2x+2x+3=4，t+u=y，得到 =+2tu+ =4+2tu，tu=-2，从而得到 t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个非负实数根，得到关于y的不等式组 , 求解不等式组得到 2y2，求出函数y= 的值域为［2，2］，得到M=2，m=2，求出 ==。
【详细解答】设t=，t［0,2］，u=，u［0,2］，+=1-2x+2x+3=4，
t+u=y，=+2tu+ =4+2tu，tu=-2， t，u是一元二次方程-yx+-2=0的两个非负实数根，y0①，=-4（-2）=-+80②，-20③，联立①②③解得： 2y2，函数y= 的值域为［2，2］，M=2，m=2，==。
8、已知非负实数x，y，z满足x+y+z=30，x-2y+3z=20，求x+2y+4z的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①求解二元一次方程组的基本方法；②转换数学思想及运用；③一元一次函数的定义，图像与性质；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】由 x+y+z=30①,x-2y+3z=20②，联立①②解得： y=14-x，z=16-x，根据y，z是非负实数，求出非负实数x的求值范围，从而得到f(x)=- x+92，x［0, ］,运用判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在［0, ］上单调递减，就可求出
=f(0)=92，= f()=-+92=-+92=。
【详细解答】 x+y+z=30, y=14-x，x+2y+4z f(x)=- x+92，x［0, ］,
x-2y+3z=20， z=16-x，函数f(x)在［0, ］上单调递减，
=f(0)=92，= f()=-+92=-+92=。
9、对于每个实数x，f(x)是y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值，求函数f(x)的最大值；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②求分段函数最值的基本方法；③一元一次函数的定义，图像与性质；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】在同一直角坐标系中作出函数y=4x+1， y y=x+2
y=x+2和y=-2x+4图像如图所示，根据图像得到函数
f(x)的解析式，判断函数f(x)在（- ，），［，）， y=-2x+4
［，+）上的单调递，分别求出函数f(x)在 y=4x+1
（- ，），［，），［，+）上的最值， 0 x
运用分段函数求最值的基本方法就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】在同一直角坐标系中作出函数y=4x+1，y=x+2和y=-2x+4图像如图所示，由图可知函数 4x+1，x＜， 函数f(x)在（- ，）单调递增，＜f()=+
f(x)= x+2，x＜， 2=； 函数f(x)在［，）上单调递增，
-2x+4，x，＜f()=+2=； 函数f(x)在［，+）上单调递减，= f()=+2=，综上所述函数f(x)的最大值为= f()=+2=。
10、设a＞1，求函数f(x)= 在区间〔2,4〕上的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①对数函数的定义，图像与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】设g(x)=a-x，作出函数g(x)的图像 y
如图所示，由图可知，函数f(x)的定义域为（-，0）
（，+），函数g(x)在（-，0）上单调递减，在
（，+）上单调递增，根据a＞1，得到函数f(g(x))在，
（-，0），（，+）上单调递增，从而得到函数f(x) 在 0
（-，0）上单调递减，在（，+）上单调递增，函数f(x) 在区间〔2,4〕上单调递增，
求出当x〔2,4〕时，= f(4)= （16a-4），= f(2)= （4a-2）。
【详细解答】设g(x)=a-x，作出函数g(x)的图像如图所示，由图可知，函数f(x)的定义域为（-，0）（，+），函数g(x)在（-，0）上单减，在（，+）上单增，
根据a＞1，函数f(g(x))在（-，0），（，+）上单增，函数f(x) 在（-，0）上单减，在（，+）上单增，函数f(x) 在区间〔2,4〕单增，当x〔2,4〕时，= f(4)= （16a-4），= f(2)= （4a-2）。
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在区间〔1,3〕上的最大值为M(a)，最小值为N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函数表达式；
（2）判断g(a)的单调性并求出g(a)的最小值。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义，图像与性质；②求一元二次函数在闭区间上最值的基本方法；③求函数最值的基本方法；④参数分类讨论的原则和基本方法；
【解题思路】（1）根据x=-=，≤a≤1, 得到1≤≤3，从而得到 N（a）= f()==1-，根据f(1)=a-1，f(3)=9a-5，f(3)- f(1)=8a-4，①当≤a≤1时, f(3)- f(1) 0，得到 M(a)=9a-5；②当≤a＜时, f(3)- f(1) ≤0，得到M(a)=a-1；从而得到 当≤a≤1时，g(a)=M(a)-N(a)= 9a+-6， 当≤a＜时，g(a)=M(a)-N(a)= a+-2，（2）①当≤a≤1时,任取，［，1］，且＜，由f()-f()=9+-6-9-+6=（-）（9-）＜0，得到函数 g(a)在［，1］上单调递增；②当≤a＜时, 任取，［，），且＜，由f()-f()=+-2--+2=（-）（1-）＞0，得到函数 g(a)在［，）上单调递减；求出 = g()=9+2-6=。
【详细解答】（1）由x=-=，≤a≤1, 1≤≤3， N（a）= =1-，根据f(1)=a-1，f(3)=9a-5，f(3)- f(1)=8a-4，①当≤a≤1时, f(3)- f(1) 0，
M(a)=9a-5；②当≤a＜时, M(a)=a-1； g(a)=M(a)-N(a)= 9a+-6，≤a≤1，
a+-2，≤a＜；
（2）①当≤a≤1时,任取，［，1］，且＜，f()-f()=9+-6-9
-+6=（-）（9-）＜0， 函数g(a)在［，1］上单调递增；②≤a＜时, 任取，［，），且＜，f()-f()=+-2--+2=（-）（1-）＞0，函数 g(a)在［，）上单调递减；函数g(a)的最小值为= g()=9
+2-6=。
12、已知函数f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②基本不等式及其运用；③求函数最值的基本方法；④区间上不等式恒成立的意义及运用。
【解题思路】（1）根据a=，得到 f(x)= =x+2+，当x∈［1，+）时，得到 f(x)= =x+2+，判断函数f(x)在［1，+）上的单调性，就可求出函数f(x)的最小值；（2）根据对任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，对任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，运用一元二次函数的性质得到关于a的不等式，求解不等式就可求出
实数a的求值范围。
【详细解答】（1）当a=+时， f(x)= =x+2+，x∈［1，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2+（-）--2=（-）（2-）＜0， 函数f(x)在在［1，+）上的单调递增， = f(1)=1+2+2+=；（2）由对任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，对任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，对任意x∈［1，+），a＞--2x恒成立，设g(x)= --2x，函数g(x)在［1，+）上单调递减，= g(1)=-3， a＞-3，a1，对任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，实数a的求值范围是（-3，1］。
『思考问题12』
（1）【典例12】是求函数的最大值与最小值的问题，解答这类问题需要理解函数最大值与最小值的定义，掌握求函数最大值与最小值的基本方法；
（2）函数的最值实际上就是函数值域的端点值，求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值；
（3）根据函数最值与函数值域之间的关系，求函数值域的方法也是求函数最值的方法，解决这类问题关键是要掌握求函数值域各种类型的特点和处理的方法。
〔练习13〕解答下列各题：
1、某汽车租赁公司的月收益y元与每辆汽车的月租金x元之间的关系为y= -+162x-21000，那么，每辆汽车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？（答案：每辆汽车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元）
2、如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面
积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料 x
总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使所
建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？（答案：宽为5m时，才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，每间熊猫居室的最大面积是37.5）
3、已知函数函数f(x)= -2x（x∈〔2,4〕），求f(x)的最小值；（答案：f(x)的最小值为0）
4、函数f(x)=x+ 的最小值为 ；（答案：函数f(x)=x+ 的最小值为1）
5、函数f(x)= （x＞1）的最小值为 ；（答案：函数f(x)= （x＞1）的最小值为8）
6、设k∈R，函数f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值；（答案：f(x)的最大值为+（k＞1）；最小值为+（k＜1））
7、已知实数x，y满足y=，求的最大值和最小值；（答案：的最大值为+，最小值为-）
8、若函数f(x)= 。
（1）若f(x)的定义域是R，求实数m的取值范围；（答案：若f(x)的定义域是R，则实数m的取值范围是（1，+∞））
（2）当m＞1时，求函数f(x)的最小值。（答案：当m＞1时，函数f(x)的最小值为（m+ ））
【考题演练】
【典例13】解答下列问题：
已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④分段函数求值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，幂函数和指数函数的性质，运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】 f(-1)=1+a，a>-1，1+a >0，f(f(-1))= =4=，1+a=2，即a=1，
C正确，选C。
2、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
3、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（1,259）（2021全国高考甲卷）
A 1.5 B 1.2 C 0.8 D 0.6
【解析】
【知识点】①函数解析式定义与性质；②函数值定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数解析式和函数值的性质，运用求函数值的基本方法，结合问题条件得到关于V的方程，求解方程求出V的值就可得出选项。
【详细解答】五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV，五分记录法的数据L=4.9，lgV=4.9-5=-0.1，V=0.8，C确，选C。
4、列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
【解析】
【知识点】①函数最值定义与性质；②基本不等式及运用；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数最值的性质，运用求函数最值的基本方法和基本不等式，求出各选项函数的最小值就可得出选项。
【详细解答】对A， y=+2x+4= +33，函数y的最小值为3，A错误；对B，|sinx|＜4，函数y的最小值不为4，B错误；对C， y=+=+
24，函数y的最小值为4，C确，选C。
5、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）（2019全国高考新课标I）
A 165cm B 175cm C 185cm D 190cm
【解析】
【知识点】①黄金分割定义与性质；②不等式定义与性质；③比例定义与性质。
【解题思路】设该人的身高为xcm，根据黄金分割，不等式和比例的性质，得到关于x的不等式组，求解不等式组求出x的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设该人的身高为xcm，由题意可得： x＞105，且x＜26，168＜x＜180.7，B正确，选B。
6、2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系，为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为，月球质量为，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：+=（R+r），设=，由于的值很小，因此在近似计算中
3，则r的近似值为（ ）（2019全国高考新课标II（理））
A R B R C R D R
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②精确度定义与性质；③求函数值和近似运算的基本方法。
【解题思路】根据精确度和函数值的性质，运用求函数值和近似运算的基本方法，结合问题条件求出r的近似值就可得出选项。
【详细解答】=，r=R，+=（R+r），
+=（1+），=［（1+）-］=
=， r=R=R，D正确，选D；
7、李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价
格依次为60元/盒，65元/盒，80元/盒，90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销，一次购买水果的总价达到120元，则顾客少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%。（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付 元；（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 （2019全国高考北京）
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②解析式定义与性质；③不等式定义与性质；④求函数解析式，函数值和求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数解析式和函数值的性质，运用求函数值的基本方法，结合问题条件就可求出当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付金额；（2）根据函数解析式的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件得到李明每笔订单得到的金额y关于x的解析式，从而得到关于x，y的不等式，
【详细解答】（1）当x=10元时，由60+80-10=140-10=130，需要支付130元；（2）设李明每笔销售的金额为y元，①当y＜120时，李明得到的收款为y80%，符合题意；②当y120时，由题意可得(y-x)80%y70%，（80%-70%）yx80%，xy，当y=120时， x15，综上所述，=15元；
8、已知实数a0，函数f(x)= 2x+a，x<1，若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为 （2019全 -x-2a，x1，国高考江苏）
【解析】
【知识点】①函数值定义与性质；②分段函数定义与性质；③求分段函数值的基本方法；④方程定义与性质；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据a0，参数分类讨论的原则和基本方法，①当0＜a时，运用分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值；②当a＜0时，运用分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，从而求出符合题意的a的值。
【详细解答】 a0，①当a＞0时，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1显然不成立；②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=- 。
『思考问题13』
（1）【典例13】是近几年各类考试中关于函数值，函数值域和函数最值的问题，归结起来
主要包括：①已知函数解析式，求函数值；②已知函数解析式，求函数值域；③已知函数解析式，求函数最值；④已知函数解析式和某一函数值（或函数值域或函数最值），求函数解析式中参数的值（或取值范围）；
（2）解答这类问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型；②根据该类问题的结构特征，采用恰当的方法求解问题；③得出问题的结果。
〔练习13〕解答下列各题：
1、某公司在2018年承包了一个工程项目，经统计 月份（月） 2 3 4 5
发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x 所获利润（亿元）89 90 89 86
近似的满足某一函数关系，其中2月到5月所获利润统计如右表：
（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：
① P（x）=a+bx+c ； ② P（x）=a. +c ； ③ P（x）=a x+c 。
请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2018年8月份在这项工程项目中获得的利润；
（2）对（1）中选择的函数模型P（x），若该公司在2018年承包项目的月成本符合函数模型Q（x）= （单位：亿元），求该公司2018年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份（2018—2019成都市高一上期调研考试）（答案：（1）根据表中数据，应该选择函数模型 P（x）=a+bx+c ，因为该公司的月利润P与月份x的关系是先增后减，而函数模型 P（x）=a. +c 与P（x）=a x+c都是单调递增（或单调递减），所以只能选择函数模型 P（x）=a+bx+c ，估计该公司8月份在这个项目中获得的利润为65亿元；（2）当且仅当x=-=2,j即该公司2018年承包的这项工程2月份的月成本为最大，月成本的最大值为121亿元。）
2、（理）某小区拟将如图的一直角三角形ABC区域进行 A
改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内 F
建造文化景观，已知AB=20m，AC=10m，则DEF区 D
域面积（单位：）的最小值为( ) （答案：D） C E B
A 25 B C D
（文）在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是X轴正半轴和y=x(x＞0)图像上的两个动点，且|MN|=，则|OM|+|ON|的最大值是（ ）(2019成都市高三二诊)（答案：D）
A 2 B C 4 D 4+2
3、（理）已知函数f(x)= +asinx，aR，若f(-1)=2，则f(1)的值等于（ ）（答案：B）
A 2 B -2 C 1+a D 1-a
（文）已知函数f(x)= +3x，若f(-a)=2，则f(a)的值等于（ ）(2019成都市高三三诊)
A 2 B -2 C 1+a D 1-a （答案：B）
4、设函数f(x)= ，x≤0,则满足f(x+1)＜f(2x)的x的取值范围是（ ）（2018全国高考 1，x＞0， 新课标I卷（文））（答案：D）
A （-∞，-1］ B （0，+∞） C （-1，0） D （-∞，0）
已知f(x)是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2，则f(1)
+f(2)+f(3)+----+f(50)=（ ）（2018全国高考新课标II卷）（答案：C）
A -50 B 0 C 2 D 50