沪科版九年级数学上册课件 21.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质(共22张PPT)

(共22张PPT)
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
旧知回顾
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是_____________________.特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是________________.
2．描点法画出一次函数的步骤，分为________，________，________三个步骤．
3．我们把形如_____________________的函数叫做二次函数．
一条经过(0，b)的直线
列表
描点
连线
y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
过原点的直线
探究二次函数 y＝ax2 的图象和性质
画出二次函数 y＝x2 的图象.
例1
观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应的y值.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
9
4
1
0
1
9
4
1．列表
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗
2．描点
根据表中x，y的数值在坐标平面内描点 (x，y).
3．连线
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
观察图象，回答问题：
(1) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
(2) 图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？
(3) 当x＜0时，随着 x 的值增大，函数
y 的值如何变化？当x＞0呢？
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
1
4
-1
-3
O
1
x
y
-2
-4
3
2
2
3
4
5
6
当x= -2时，y=4；
当x= -1时，y=1.
当x=1时，y=1；
当x=2时，y=4.
y＝x2
当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
画出函数 y＝－x2 的图象.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
－9
－4
－1
0
－1
－9
－4
1．列表
(1) 二次函数 y＝－x2 的图象是什么形状？
(2) 它与二次函数 y＝x2的图象有什么关系？
仿例1
2．描点
根据表中x，y的数值在坐标平面内描点 (x，y).
3．连线
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y =－x2 的图象．
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
1
4
-1
-3
O
-5
x
y
-2
-4
3
2
-4
-3
-2
-1
-6
当x= -2时, y= -4；
当x= -1时, y= -1.
当x=1时, y= -1；
当x=2时, y= -4.
y＝－x2
当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而增大.
当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而减小.
抛物线y=－x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.
抛物线 y＝x2 y＝－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
(0，0)
(0，0)
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
在同一直角坐标系中，画出函数 y＝ x2 ，y＝2x2 的图象.
例2
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2 … …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
列表
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
描点、连线
如图，即得这两个函数的图象.
-2
2
2
4
6
4
-4
8
O
x
y
y＝2x2
y＝ x2
y＝x2
如图可知，当 a>0 时，a 越大，开口越小.
在同一直角坐标系中，画出函数 y＝－ x2 ，y＝－2x2
的图象.
仿例2
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= - x2 … …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y= -2x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …
列表
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
描点、连线
如图，即得这两个函数的图象.
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
x
y
O
y＝－ x2
y＝－2x2
y＝－x2
如图可知，当a＜0时，a 越大，开口越大.
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
二次函数 y＝ax2 的图象和性质的运用
在同一平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2，y＝－3x2 ，y＝x2的共同特点是 ( 　　)
A．关于y轴对称，抛物线开口向上
B．关于y轴对称，y随x的增大而增大
C．关于y轴对称，y随x的增大而减小
D．关于y轴对称，抛物线顶点在原点
例3
D
已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的m值；
(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
例4
解：(1)m＝2或m＝－3；
(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
随堂练习
1．若(－5，2)在抛物线 y＝ax2上，则点________一定也在该抛物线上( 　　)
A．(5，2) B．(－2，－5)
C．(－5，－2) D．(0，2)
2．函数 y＝5x2 的图象开口向_____，顶点是________，对称轴是_______，当_______时，y随x的增大而增大．
A
上
(0，0)
y轴
x＞0
3．已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为 0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y＝x2，
∴当x＝0时，y有最小值，且y最小值＝0，
∵当x≥m时，y最小值＝0，
∴m≤0．
随堂练习
4．已知：如图，直线 y＝3x＋4与抛物线 y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
∴此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
解得
随堂练习
画法
以对称轴为中
心对称取点
图象
性质
二次函数
y＝ax2
描点法
抛物线
重点关注4个方面
轴对称图形
1.开口方向及大小
2.对称轴
3.顶点坐标
4.增减性