沪科版九年级数学上册课件 21.2.4 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质(共19张PPT)

(共19张PPT)
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第4课时 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
旧知回顾
填空.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y＝3x2
y＝－2x2＋3
y＝x2－4
y＝0.6(x－5)2
y＝－3(x＋1)2
向上
y轴或x＝0
(0，0)
最小值0
向下
y轴或x＝0
(0，3)
最大值3
向上
y轴或x＝0
(0，－4)
最小值－4
向上
x＝5
(5，0)
最小值0
向下
x＝－1
(－1，0)
最大值0
二次函数 y=a(x+h)2+k 的图象和性质
问题1
画出函数 y＝－ (x＋1)2－1 的图象，指出它的开口方向、对称轴、顶点．
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y＝－ (x＋1)2－1 … 　 　 　 　 　 …
列表
－5.5
－3
－1.5
－1
－1.5
－3
－5.5
描点、连线
如图，即得函数的图象.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-5
-4
-3
-2
-1
O
x
y
-6
-5
y＝－ (x＋1)2－1
x＝－1
开口方向向下；
对称轴是直线 x＝－1；
顶点坐标是 (－1，－1).
画出函数 y＝2(x＋1)2－2 的图象，指出它的开口方向、对称轴、顶点．
列表、描点、连线
问题2
如图，即得函数的图象.
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
O
x
y
-1
-2
y＝2(x＋1)2－2
x＝－1
开口方向向上；
对称轴是直线 x＝－1；
顶点坐标是 (－1，－2).
y=a(x－h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x＝h
直线 x＝h
(h，k)
(h，k)
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是 (　 　)
例1
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点(3，0).
(1)求 a 的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求m、n之间的数量关系．
例2
解：(1)将(3，0)代入 y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，
∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，
且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个
喷水头，使喷出的抛物线形
水柱在与池中心的水平距离
为 1 m处达到最高，高度为
3 m，水柱落地处离池中心
3 m，水管应多长？
例3
解：如图建立直角坐标系，点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.
∴设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
∵这段抛物线经过点(3，0)，
∴0=a(3－1)2＋3.
∴抛物线的解析式为：
当x=0时，y=2.25.
答：水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
解得：
1
2
3
1
2
3
y
x
O
C
A (1，3)
B (3，0)
二次函数 y=a(x+h)2+k与 y=ax2 的关系
怎样移动抛物线 y＝－ x2 就可以得到抛物线
y＝－ (x＋1)2－1？
问题3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-5
-4
-3
-2
-1
O
x
y
y＝－ x2
y＝－ x2－1
向下平移
1个单位
y＝－ (x＋1)2－1
向左平移
1个单位
平移方法1：
y＝－ (x＋1)2－1
y＝－ x2
y＝－ x2－1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-5
-4
-3
-2
-1
O
x
y
y＝－ x2
y＝－ (x＋1)2
向下平移
1个单位
y＝－ (x＋1)2－1
向左平移
1个单位
平移方法2：
y＝－ (x＋1)2－1
y＝－ x2
y＝－ (x＋1)2
y = a( x+h )2 + k
y = ax2 + k
y = ax2
y = a(x+h )2
平移规律
简记口诀
上下平移
上下平移
左右平移
左右平移
上下平移：括号外上加下减；
左右平移：括号内左加右减．
二次项系数 a 不变.
随堂练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y＝2(x＋5)2＋1
y＝－3(x－7)2－6
y＝3(x－4)2＋10
y＝－8(x＋4)2－3
向上
x＝－5
(－5，1)
最小值1
向下
x＝7
(7，－6)
最大值－6
向上
x＝4
(4，10)
最小值10
向下
x＝－4
(－4，－3)
最大值－3
2．把抛物线 y＝－3x2 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.
3．抛物线 y＝－3x2＋2 的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为___________________.
y＝－3(x－1)2＋2
y＝－3(x－2)2＋3
随堂练习
4．抛物线 y＝－3(x－1)2＋2 的图象如何得到 y＝－3x2 .
先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
（或先向下平移2个单位，再向左平移1个单位）
随堂练习
5．如果一条抛物线的形状与 y＝－ x2＋2形状相同，且顶点坐标是 (4，－2)，试求这个函数关系式.
y＝－ (x－4)2＋2
随堂练习
6．二次函数 y＝a(x＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数 y＝mx＋n 的图象经过 ( 　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
B
图象和
性质
1.开口方向由a的符号决定
2.顶点坐标 (－h，k)
3.对称轴是直线 x＝－h
与y=ax2的关系
二次函数
y=a(x+h)2+k
平移规律：
①左右平移: 括号内左加右减；
②上下平移: 括号外上加下减.