沪科版九年级数学上册21.2.5 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
旧知回顾
1．你能说出函数y＝－3(x＋2)2＋4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？
解：开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，4)．在对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大．当x＝－2时，有最大值4.
2．函数y＝－3(x＋2)2＋4与函数y＝－3x2的图象有什么关系？
解：函数y＝－3(x＋2)2＋4的图象是由函数y＝－3x2的图象向上平移4个单位，向左平移2个单位得到的．
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
思考：我们已经知道 y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 y＝ x2－6x＋21 的图象和性质？
问题1
怎样将 y＝ x2－6x＋21 化成
y＝a(x－h)2＋k 的形式？
用配方法：
● 配方法的步骤：
(1) 提：提出二次项系数；
(2) 配：括号内配成完全平方；
(3) 化：化成顶点式.
● 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
问题2
如何画二次函数 y＝ x2－6x＋21 的图象？根据图象说出其性质.
先用配方法将此函数化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，
由问题1可知，此函数可化为 y＝ (x－6)2＋3.
列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝ (x－6)2＋3 … 　 　 　 　 　 …
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
描点、连线，即得函数的图象.
y＝ (x－6)2＋3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
O
x
y
7
8
5
6
7
8
9
10
由图象可知，函数具有的性质：
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
x＝2
用配方法把函数 y＝－3x2＋6x＋1 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y＝－3x2＋6x＋1
＝－3(x2－2x)＋1
＝－3(x－1)2＋4
函数开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标(1，4)．
例1
用配方法将二次函数 y＝ x2＋2x－1 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y＝ x2＋2x－1＝ (x2＋6x)－1＝ (x2＋6x＋9－9)－1
＝ (x＋3)2－3－1＝ (x＋3)2－4
函数开口方向向上，对称轴为x＝－3，顶点坐标(－3，－4).
例2
提示：当括号前提出一个分数时，里面每一项的系数都乘以这个系数的倒数．
将二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)配方化成顶点式，并求出对称轴及顶点坐标．
例3
y = ax + bx + c
对称轴为直线 x＝－ ；顶点坐标 (－ ， ).
一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的可以通过配方化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，即
顶点坐标是：
对称轴是：
直线
● a＞0时，
① 当 x＜－ 时，y 随 x 的增大而减小；
② 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大．
x
y
O
x＝－
● a＜0时，
① 当 x＜－ 时，y 随 x 的增大而增大；
② 当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而减小．
x
y
O
x＝－
已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当 x＞1时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( )
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
D
例4
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴x=－ =b，即b≤1，故选择 D .
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
一次函数 y＝kx＋b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y＝k1x+b1
x
y
O
y＝k2x+b2
y＝k3x+b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
＞
＞
＜
＜
＞
＜
问题3
k2 ___ 0
b2 ___ 0
k3 ___ 0
b3 ___ 0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
问题4
a1 ___ 0
b1 ___ 0
c1 ___ 0
x
y
O
x＝－
x＝－
a2 ___ 0
b2 ___ 0
c2 ___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
对称轴在y轴左侧，
x＝－ ＜0
对称轴在y轴右侧，
x＝－ ＞0
开口均向上，a＞0
x＝0时，y＝c
x
y
O
x＝－
x＝－
a1 ___ 0
b1 ___ 0
c1 ___ 0
a2 ___ 0
b2 ___ 0
c2 ___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＞
对称轴是y轴，
x＝－ ＝0
对称轴在y轴右侧，
x＝－ ＞0
开口均向下，a＜0
x＝0时，y＝c
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_______
a＜0 开口_______
b＝0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c＝0 经过原点
c＞0 与y轴交于____半轴
c＜0 与y轴交于____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
1．求二次函数 y＝2x2－8x＋7 图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数 y＝2x2－8x＋7 图象的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标为(2，－1).
解：y＝2x2－8x＋7
＝2(x2－4x)＋7
＝2(x2－4x＋4)－8＋7
＝2(x－2)2－1
随堂练习
随堂练习
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为 ( )
A．y轴 B．直线 x＝2
C．直线 x＝ D．直线 x＝
D
3．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c＜0；③a－b＋c＝－9a；④若（－3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中正确的是 ( )
A．①②③　　 B．①③④
C．①②④　 D．②③④
B
随堂练习
x
y
O
2
x=-1
1
-1
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
D
解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
随堂练习
y＝ax2＋bx＋c（a≠0) [一般式]
y＝a(x＋ )2＋ （a≠0) [顶点式]
顶点
对称轴
(－ ， )
x＝－
配方法 公式法
二次函数
y＝ax2＋bx＋c