沪科版九年级数学上册21.2.6 二次函数表达式的确定 课件 (共20张PPT)

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第二十一章 二次函数与反比例函数
21.2 二次函数的图象和性质
第6课时 二次函数表达式的确定
旧知回顾
1．在直角坐标系中，直线 l 过(1，2)和(3，－1)两点，求直线 l 的函数关系式．
解：设直线l的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把(1,2)、(3,－1)
k＋b＝2
3k＋b＝－1
代入上式得
k＝－
b＝
解得
∴直线l的函数关系式为y＝－ x＋ .
2．正比例函数图象经过点(1，－2)，该函数解析式是____________．
y＝－2x
思考：一般地，函数关系式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们确定正比例函数 y＝kx (k≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数 y＝kx＋b (k≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的关系式，需要几个条件呢？
利用三点求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式
思考：二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
有3个待定系数；需要3个抛物线上的点的坐标.
待定系数法的步骤：
1.设：表达式； 2.代：坐标代入；
3.解：方程（组）； 4.还原：写解析式．
已知二次函数经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)，求这个二次函数解析式．
例1
解：设所求二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵二次函数过点(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点．
∴所求二次函数的解析式为 y＝2x2－3x＋5.
∴
a－b＋c＝10，
a＋b＋c＝4，
4a＋2b＋c＝7.
a＝2，
b＝－3，
c＝5.
解得
解：设所求二次函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c，由题意得
有一个二次函数，当x＝0时，y＝－1；当x＝－2时， y＝0；当x＝ 时, y＝0．求这个二次函数的解析式．
∴所求二次函数的解析式为 y＝x2＋ x－1.
∴
c＝－1，
4a－2b＋c＝0，
a＋ b＋c＝0.
例2
a＝1,
b＝ ，
c＝－1.
解得
◆ 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做
一般式法．其步骤为：
① 设函数表达式为 y=ax2+bx+c；
② 代入后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到a，b，c的值；
④ 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
利用顶点式求二次函数的解析式
选取顶点(－2，1)和点(1，－8)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y＝a(x－h)2＋k，
把顶点(－2，1)代入得 y＝a(x＋2)2＋1，
再把点 (1，－8) 代入上式得 a(1＋2)2＋1＝－8，
解得 a＝－1.
∴所求的二次函数的表达式是 y＝－(x＋2)2＋1
或y＝－x2－4x－3.
范例
◆ 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方
法叫做顶点法．其步骤为：
①设函数表达式是 y＝a(x－h)2＋k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： ∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，
∴可以设函数表达式为 y＝a(x－8)2＋9.
∵它的图象经过点(0，1)，可得 0＝a(0－8)2＋9.
∴所求的二次函数的解析式是
解得
例3
交点法求二次函数的表达式
解：∵(－3，0)，(－1，0)是抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点，
∴可设这个二次函数的表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)，
其中x1、x2为交点的横坐标，
∴得 y＝a(x＋3)(x＋1).
再把点(0，－3)代入上式得
a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a＝－1，
∴所求的二次函数的表达式是
y＝－(x＋3)(x＋1)，即y＝－x2－4x－3.
选取(-3，0),(-1，0),(0，-3)，求出这个二次函数的表达式.
范例
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
◆ 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方
法叫做交点法．其步骤为：
①设函数表达式是y＝a(x－x1)(x－x2)；
②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
特殊条件的二次函数的表达式
已知二次函数 y＝ax2＋c 的图象经过点(2，3)
和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
范例1
解：∵该图象经过点(2，3)和(－1，－3)，
∴所求二次函数表达式为 y＝2x2－5.
3＝4a＋c，
－3＝a＋c，
∴
a＝2，
c＝－5.
解得
特点：二次函数关于y轴对称
已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
范例2
特点：二次函数图象经过原点
解:∵该图象经过点(－2，8)和(－1，5)，
8＝4a－2b，
5＝a－b，
∴
∴ 所求二次函数表达式为 y＝－x2－6x.
a＝－1，
b＝－6.
解得
1．如图，平面直角坐标系中，函数
图象的表达式应是 .
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
2
1
3
4
5
随堂练习
2．过点(2，4)，且当 x＝1时，y有最值为6，则其表达式是 .
y＝－2(x－1)2＋6
y＝ x2
3．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c.
∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a－b＋c＝－5，
依题意得
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
随堂练习
4．已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
∵抛物线过点M(0，1)，
∴1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2＋1.
随堂练习
5．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴－ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是 y＝x2＋6x＋5；
x
y
O
x＝－3
A
B
随堂练习
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
x
y
O
x＝－3
A
B
随堂练习
已知条件
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或
对称轴或最值
用顶点法：y=a(x-h)2+k
③已知抛物线与x轴
的两个交点
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式