沪科版九年级数学上册 21.3 二次函数与一元二次方程 课件(共20张PPT)

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第二十一章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
旧知回顾
1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3)、(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是_______．
2．如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是_________．
x＝4
x＝－2
思考：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么它们之间到底有怎样的关系呢？
观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题.
(1)函数图象与x轴有几个交点？
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
解：(1)函数图象与x轴有两个交点．
(2)从以上观察可以得出，求函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根．
一元二次方程与二次函数的关系
问题1
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y＝x2＋x－2；
（2）y＝x2－6x＋9；
（3）y＝x2－x＋1.
问题2
1
O
y
x
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线 与x轴公共点个数 公共点
横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0，无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2，1
x2+x-2=0，x1=-2, x2=1
无
b2－4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2－4ac＞0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
没有交点
没有实数根
b2－4ac＜0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为________________．
(1，0)，(2，0)
二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝_____．
5
例1
例2
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值．
例3
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
∴ x－1＝0 或 mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x
轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
∴正整数m的值为1或2.
已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值．
例3
求一元二次方程 x2＋2x－1＝0 的根的近似值（精确到 0.1）.
分析：一元二次方程 x ＋2x－1＝0 的根就是抛物线 y＝x ＋2x－1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解
范例
解：画出函数 y＝x ＋2x－1 的图象（如图所示），由图象可知，方程有两个实数根，一个在－3与－2之间，另一个在0与1之间.
1
4
-1
-3
O
1
x
y
-2
-4
3
2
2
3
4
5
6
-1
-2
先求位于－3到－2之间的根，由图象可估计这个根是－2.5或－2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x … －2.5 －2.4 …
y … 0.25 －0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取－2.5和－2.4时，对应的y由负变正，可见在－2.5和－2.4之间肯定有一个x使y＝0，即有y＝x2－2x－1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x＝－2.5和x＝－2.4都符合要求.但当x＝－2.4时更为接近0.故x1≈－2.4.
同理可得另一近似值为x2≈0.4.
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的步骤：
(1)用描点法作二次函数图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
(3)确定方程一元二次方程的解.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为 (　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
B
例4
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5. 故x1≈－2.5，x2≈0.5. 故选B.
随堂练习
1．不与x轴相交的抛物线是 ( )
A．y＝2x2－3 B．y＝－2x2＋3
C．y＝－x2－3x D．y＝－2(x＋1)2－3
2．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c，当 a＞0，c＜0时，图象与x轴交点情况是 ( )
A．无交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．不能确定
D
C
3．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝ _____；
－1
随堂练习
4．一元二次方程 3x2＋x－10＝0的两个根是x1＝－2，x2＝ ，那么二次函数 y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是__________________.
(－2，0)，( ，0)
y
O
x
1
3
5．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
随堂练习
6．已知：抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
随堂练习
y=ax2+bx+c(a≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a≠0),右边换成
y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与一元二次方程
二次函数与x
轴的交点个数
判别式Δ
的符号
一元二次方
程根的情况