沪科版九年级数学上册21.5.3 反比例函数的图象和性质(2)课件 (共20张PPT)

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第二十一章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
第3课时 反比例函数的图象和性质(2)
旧知回顾
填写下表，比较正反比例函数性质的异同.
正比例函数 反比例函数
图象特征
经过象限
增减性
过原点的一条直线
双曲线
k＞0，一三象限
k＜0，二四象限
k＞0，一三象限
k＜0，二四象限
k＞0，y随x增大而增大
k＜0，y随x增大而减小
k＞0，在每一象限内，
y随x增大而减小
k＜0，在每一象限内，
y随x增大而增大
反比例函数解析式中 k 的几何意义：图形面积
在反比例函数 y＝ 的图象上分别取点 P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2的矩形，
填写下页表格：
问题1
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1＝S2
S1＝S2＝k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
4
4
S1＝S2
S1＝S2＝－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
若在反比例函数 y＝ 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
问题2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 y＝ 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP＝|k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)
∴ S矩形 AOBP＝PB·PA＝－a·b＝－ab＝－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
B
P
A
综上，S矩形 AOBP＝|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
∵点 P (a，b) 在函数 y＝ 的图象上，
∴b＝ ，即 ab＝k.
∴ S矩形 AOBP＝PB·PA＝a· (－b)＝－ab＝－k.
●点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ＝______.
Q
A
B
| k |
y
x
O
对于反比例函数 y＝ ，
●推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO＝S△QBO＝______.
| k |
反比例函数的面积不变性
解：根据题意可知：S△AOB＝ |k|＝3，
又反比例函数的图象位于第一象限，
k＞0，则k＝6.
练一练
1．已知如图，A是反比例函数 y＝ 的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是___.
6
练一练
2．如图，A、B两点在双曲线 y＝ 上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知 S阴影＝1，则 S1＋S2＝_____.
3．如图，函数 y＝－x与函数 y＝－ 的图象相交于A、B两点，过 A、B两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点C、D，则四边形ACBD的面积为_____．
6
8
一次函数与反比例函数的综合运用
例1
如图，直线 y＝k1x＋b (k1≠0)与双曲线 y＝ (k2≠0)相交于 A(1，m)、B(－2，－1)两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)若A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)
为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，
请直接写出 y1，y2，y3的大小关系；
(3)根据图象回答，一次函数大于反比例
函数值时 x 的取值范围．
∴m＝2，∴ A(1，2)．
把 A(1，2)，B(－2，－1)代入 y＝k1x＋b，
(2) y2＜y1＜0＜y3；
(3) x＞1或－2＜x＜0.　
解：(1)把点B(－2，－1)代入 y＝ ，得－1＝ ，
∴k2＝2，∴y＝ .
把A(1，m)代入y＝ ，得m＝ ，
得
k1＋b＝2，
－2k1＋b＝－1，
∴y＝x＋1；
k1＝1，
b＝1，
解得
如图，已知直线 y＝ax＋b 经过点A(0，－3)，与x轴交于点C，且与双曲线相交于B、D两点，点B的坐标为(－4，－a)．
(1)求直线和双曲线的函数关系式；
(2)求△CDO(其中O为原点)的面积．
例2
解：(1)把A(0，－3)，B(－4，－a)代入y＝ax＋b中，
(2)由直线y＝－x－3求得C坐标为(－3，0)，
解得 a＝－1，b＝－3，
得
b＝－3
－4a＋b＝－a
∴ y＝－x－3.把B(－4，1)代入 y＝ 中，得k＝－4 ，
∴ y＝－ ，
∴一次函数为y＝－x－3，反比例函数为y＝－ ；
∴S△COD＝ ×3×4＝6.
由 可得D坐标为(1，－4)，
y＝－x－3，
y＝－ ，
随堂练习
y
x
O
A
B
C
1．如图，在函数 y＝ (x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则 ( )
A．SA＞SB＞SC B．SA＜SB＜SC
C．SA＝SB＝SC D．SA＜SC＜SB
C
随堂练习
－12
y
x
O
P
A
2．如图，过反比例函数 y＝ 图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k＝ .
3．如图，点A在双曲线 y＝ 上，点B在双曲线 y＝ 上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为 ．
2
y
x
O
C
E
D
A
P
B
4．如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、 △POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
随堂练习
解：(1)把( ，8)代入 y＝ ，k＝4，
∴反比例函数为y＝ .
代入Q(4，m)，m＝1，
∴Q坐标(4，1)．代入y＝－x＋b，b＝5，
∴一次函数解析式为y＝－x＋5.
5．如图，已知反比例函数 y＝ (k≠0)的图象经过点( ，8)，直线 y＝－x＋b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；
随堂练习
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP、OQ，求△OPQ的面积．
解：一次函数与x轴、y轴交点A、B坐标为A(5，0)，B(0，5)．
由 求得点P坐标为(1，4)，
y＝－x＋5，
y＝ ，
S△OPQ＝S△AOB－S△BOP－S△AOQ
＝ ×5×5－ ×1×5－ ×1×5
＝7.5.
随堂练习
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
过 程
注 意
反比例函数
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同