沪科版九年级数学上册21.5.2 反比例函数的图象和性质(1)课件 (共22张PPT)

(共22张PPT)
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
第2课时 反比例函数的图象和性质(1)
旧知回顾
1．一次函数 y＝kx＋b (k≠0)的图象是怎样的？如何做出？
2．一次函数图象有何性质？
当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小．
一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，过点(0，b)和(－ ，0)可以作出它的图象．
反比例函数图象和性质
问题
画反比例函数 y＝ 和 y＝－ 的图象.
解：列表
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y＝ … …
y＝- … …
6
3
2
1.5
1.2
1
-6
-3
-1.5
-2
-1.2
-1
-6
6
3
-3
2
-2
1.5
-1.5
1.2
-1.2
1
-1
描点、连线
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
O
x
y
5
6
-5
-6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
O
x
y
5
6
-5
-6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y＝
y＝－
观察图形，回答下列问题：
解：用描点法画出反比例函数图象，注意x≠0，其图象有两个分支，分别在第一和第三象限内．
1．如何画出反比例函数 y＝ 的图象，其图象是怎样的？
解：反比例函数y＝ 是中心对称图形，
取点 P(x0，y0)在y＝ 图象上，
∵y0＝ ，则－y0＝ ，
即可知点P′(－x0，－y0)也在图象上，
所以 y＝ 是中心对称图形．
2．反比例函数y＝ 是否为中心对称图形？如何验证？
3．对比 y＝ 和y＝－ 图象特征，归纳反比例函数图象性质？
解：反比例函数 y＝ (k≠0)的图象叫作双曲线．
1．当k>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；
2．当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
y =
x
k
x
y
O
x
k
y=
y
x
O
反比例函数的图象和性质：
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象
x取值范围
图象的位置
性质
正比例函数与反比例函数的对比
全体实数
x≠0的一切实数
当k>0时，y随x的增大而增大
当k<0时，y随x的增大而减小
k<0
x
y
O
x
y
O
k>0
k<0
y
x
O
y
O
k>0
x
当k>0时，在一、三象限；
当k<0时，在二、四象限．
当k>0时，在一、三象限；
当k<0时，在二、四象限．
当k>0时，y随x的增大而减小
当k<0时，y随x的增大而增大
y＝kx (k≠0)
y＝ 或 y＝kx－1 (k≠0)
k
x
练一练
1．如果反比例函数 y＝ 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数 k 的值是_______．
2．已知直线 y＝kx＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 y＝ 的图象在第________象限．
3．在反比例函数 y＝ 的图象的每一条曲线上，y都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是________．
1、2
二、四
k＜1
反比例函数图象性质的应用
1．反比例函数解析式需要几个点确定？
回答下面的问题：
一个点．
2．反比例函数图象性质运用应注意什么？
(1)必须注意强调在每一象限内；
(2)其性质与正比例函数的区别与联系．
如k＞0或k＜0所处象限相同，但增减性不同．
解：由题意得 a2＋a－7＝－1，且a－1＜0．
解得 a＝－3.
例1
已知反比例函数 y＝(a－1) ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
例2
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
(2) 点B(3，4)，C(－2 ，－4 )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 y＝ ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 6＝ ，解得 k＝12.
所以反比例函数的解析式为 y＝ .
O
x
y
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
如图，是反比例函数 y＝ 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
例3
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：∵ m－5＞0，
∴在这个函数图象的任一支上，
y 都随 x 的增大而减小，
∴当x1＞x2时， y1＜y2.
O
x
y
随堂练习
1．如果一个正比例函数图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(x1，y2)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为______．
2．下列关于反比例函数 y＝－ 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是________(填序号).
24
(1)(3)
3．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，那么正比例函数 y＝kx 和反比例函数 y＝ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A B C D
C
随堂练习
解：(1)代入A(1，2)得k－1＝2，k＝3；
(2)k－1＞0，k＞1；
4．已知反比例函数 y＝ (k为常数，k≠1)
(1)若点 A(1，2)在这个函数的图象上，求 k 的值；
(2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求 k的取值范围；
(3)若 k＝13，试判断点B(3，4)，C(2，5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．
(3)y＝ 代入B(3，4)，C(2，5)，B点在函数图象上，C点不在．
随堂练习
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
①当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
5．点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 y＝ (k＞0)的图象上，若y1＜y2，求 a 的取值范围.
随堂练习
形 状
图象是双曲线
增减性
变化趋势
反比例函数
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内
当k<0时,双曲线分别位于第二,四象限内
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
位 置
双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
对称性
由定义
求面积
反比例函数
双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形；
任意一组变量的乘积是一个定值，
即 xy＝k .
反比例函数的图象是轴对称图形，直线 y＝x 和 y＝－x 都是它的对称轴；
反比例函数 y＝ 与 y＝－ 的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称.