沪科版九年级数学上册 22.1.2 比例的基本性质与黄金分割 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第二十二章 相似形
22.1 比例线段
第2课时 比例的基本性质与黄金分割
什么叫两个数的比？2与－3的比，－4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？
旧知回顾
＝－ ， ＝ ，比值相等，
两个数相除的商也叫两个数的比. ＝－ ，
写成2∶－3＝－4∶6.
可以说2，－3，－4，6成比例，
导入新课
两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即
A
B
C
D
m
n
AB:CD= m : n 或
如果把 表示成比值k,那么 =k，或AB=k · CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.
一 比例线段的基本概念
什么叫两条线段的比？
归纳
两条线段长度的比叫两条线段的比，记作 或a∶b，
什么叫成比例线段？
在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比等于另外两条线段c、d的比，即 ＝ (或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段．简称比例线段．
什么是比例中项？
其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a、b、c之间有a∶b＝b∶c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项．
判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线　
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
∴　线段a、b、c、d 不是成比例线段．
解：（1）∵　
=
=
=
=
∴　
≠
例1
（2）a＝2，b＝
，c＝
，d＝
．
∴　线段a、b、c、d是成比例线段．
∴　
=
=
=
，
=
=
解　∵　
注意
若a:b=k , 说明a是b的 k 倍；
两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；
两条线段的比值是一个没有单位的正数；
除了a=b外,a:b≠b:a, 与 ，互为倒数.
如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.
（1）
（2）
P
Q
P′
Q′
A
A'
B'
B
观察与思考
在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ,B在照片(2)找出对应的两个点P′，Q′，A′, B′量出线段PQ，P′Q′，AB， A′B′的长度.计算它们的长度的比值.
二 比例的基本性质及合比、等比性质
问题：如果四个数a , b, c, d成比例，即 = 那么ad = bc吗？反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗？
如果四个数a,b,c,d成比例，即 = 那么ad=bc吗？
1
由此可得到比例的基本性质：
如果 = ，那么 ad=bc.
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
比例的基本性质
2
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc,那么等式 = 还成立吗？
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 = .
根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
解（1）∵ 4a=5b，
（2）
=
∴
=
（2）∵ = ，
∴
=
例2
已知 = ，求 的值
解：解法1：由比例的基本性质，
得 2（a+3b）=7×2b.
∴a=4b，∴ =4
解法2：由 = ，得 =7
∴
= +3=7，
∴ =4
例3
什么是合比性质？
解：如果 ＝ ，
得 ＝ (b、d≠0)，
合比性质
在 ＝ 两边加上1，
由此可得到比例的合比性质
得 ＝ ；
如果 ＝ ，
等比性质
已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 = =
（b+d+f≠0）,那么 成立吗？为什么？
解设 = = = k ,
则 a = kb, c = kd , e= kf .
所以 = = k =
由此可得到比例的又一性质：
归纳
如果 = =....= (b+d+...+n≠0)
那么 =
在△ABC与△DEF中，已知 ，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.
解：∵
∴
∴4(AB + BC + CA)=3(DE + EF + FD).
又 △ABC的周长为18cm，
即 AB+BC+CA=18cm.
∴ △DEF的周长为24cm.
即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ，
例4
在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，这个图纸所反映的实际△A’B’C’的周长是多少？
解：根据题意，得
即
∵ AB+BC+AC=5+4+3=12（cm），
例5
答：实际△A'B'C'的周长是600m
∴ A'B'+B'C'+A'C'=12×5000=60000(cm)=600（m）.
A
C
B
A
B
C
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离, 与 相等吗？
=
三 黄金分割
A
B
C
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 = , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点, AC与AB的比称为黄金比.
A
P
B
解 设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得 a:x=x:(a-x),
如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使 AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和 的值.
即 x2+ax-a2=0.
解方程，得
例6
A
P
B
因为线段长不能是负值，所以取
即
AP=
于是 = = ≈0.618.
通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.
知识拓展
黄 金 分 割 在 艺术 上 的 应 用
知识拓展
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人
联想起许多与北纬30度有关的地方。
奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，
九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国
三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
大自然与黄金分割
知识拓展
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618;
知识拓展
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温(37℃)的黄金点(23=37×0.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.
知识拓展
随堂练习
1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？
成比例线段
不成比例线段
2.下列各组线段中成比例线段的是　　（　　）
C
（1）a=4，b=2，c=5，d=10
（2）a=3，b=2，c=8，d=6
A. a= ，b=3，c=2，d=
B. a=4，b=6，c=5，d=10
D. a=2，b=3，c=4，d=1
D. a=2，b= ，c= 2 ，d=
3.如果线段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中项是(　　)
A．20cm　　　B．18cm　　C．16cm　　D．14cm
C
解： 设比例中项为c，
由比例中项定义得：a∶c＝c∶d，
c2＝ab＝32×8，c＝16，选C.
随堂练习
随堂练习
14
4.(1)若 ＝ ，则 ＝_____ ；
(2)已知 ＝ ，则 ＝______．
5．已知 ＝ ＝ ，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝________．
随堂练习
6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(　 )
A．12.36cm B．13.6cm
C．32.9cm
D．7.54cm
A　
随堂练习
7.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )
(A)12.36 cm (B)13.6 cm
(C)32.36 cm (D)7.64 cm
A
【解析】选A. 0.618×20=12.36(cm).
随堂练习
8. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点.
证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，
所以∠ABC=∠C=72°，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°
∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，
∴△ACB∽△BCD，
∴AC：BC=BC：DC；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC；
即点D是AC的黄金分割点．
∵∠A=∠ABD，
∴AD=BD.
随堂练习
比例线段
两条线段的比：
比例线段
①长度单位统一；
②与单位无关，本身没有单位；
③两条线段有顺序要求.
①概念：项、比例内项、比例外项；
②四条线段有顺序要求；
③特别地：比例中项.
=
定 义
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 = , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：
原线段 =