沪科版九年级数学上册22.2.1 相似三角形的判定(1) 课件 (共26张PPT)

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第二十二章 相似形
22.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定(1)
旧知回顾
什么叫相似多边形？满足什么条件的两个三角形相似？
对于△ABC和△A′B′C′，
对应角相等，对应边的比相等，这两个多边形叫做相似多边形．
当∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
且 ＝ ＝ ，
则△ABC∽△A′B′C′.
相似三角形
什么是相似三角形？它有何性质？
形状相同的两个三角形叫相似三角形．
△ABC与△A′B′C′相似比记为k1，△A′B′C′与△ABC相似比记为k2，k1与k2有何关系？当k1＝k2时，这两个三角形全等吗？
解：k1＝ ，当k1＝k2＝1时，两个三角形全等．
相似三角形的基本概念
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
-
△ABC与△A′B′C′______，记作_______________，△ABC与△A′B′C′相似比是k，则△A′B′C′与△ABC的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
△ABC∽△A′B′C′
相似
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,
∠B=∠B′,∠C=∠C′,且 = = =k.
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,
且 = = =k
当相似比等于1时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
总结
解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.
△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．
例1
因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.
所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.
∴△ABC∽△DFE.
∴ = = .
∵
= ,
= ,
= = ,
判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．
总结
如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝50cm，EC＝30cm，BC＝58cm，∠BAC＝45°，∠ACB＝40°，求：
解：(1)∵△ABC∽△ADE，
(1)∠AED和∠ADE的度数；
例2
(2)DE的长．
∴∠AED＝∠ACB＝40°.
在△ADE中，∠ADE＝180°－40°－45°＝95°；
(2) ∵△ABC∽△DFE.
∴DE＝36.25(cm).
∴ ＝ .
∴ ＝ .
当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．
总结
在△在ABC中，D为AB上任意一点，过D作BC的平行线DE，交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
解：过D作AC的平行线交BC于F点．
用平行于三角形一边的直线判定三角形相似
例3
【分析】要判定两个三角形相似，我们可以从相似的定义来判定，即对应边成比例、对应角相等．
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴ ＝ ， ＝ .
∵四边形DFCE是平行四边形
又∵∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，
∴△ADE∽△ABC.
∴DE＝FC，即 ＝ .
∴ ＝ ＝ ，
如图, DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系 说明理由.
解:相似
∵ DE//BC，
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
F
A
B
C
D
E
例4
在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A.
=
过E作EF//AB交BC于F，则 =
∵DBFE是平行四边形，
∴DE=BF.
∴△ADE∽△ABC
A
B
C
D
F
E
∴ = .
∴ = = .
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
“A”型
“X”型
（图3）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
“A”型
A
D
E
B
C
（图2）
归纳
∴AD∶AB＝1∶4.
如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ＝ ，DE＝3cm，求BC的长．
范例1
解：∵AD∶DB＝1∶3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD∶AB＝DE∶BC.
∵DE＝3cm，
∴BC＝12cm.
如图所示，已知在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
范例2
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
在△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若AD∶AB＝2∶3，求ND∶BD.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
范例3
∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC
∴ND∶DB＝1∶2.
∴ ＝ ＝ .
∵M为DE的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
1.如图所示，若△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是(　　)
D
解：由对应关系可知D正确．
随堂练习
A. ＝　 B. ＝ C. ＝　 D. ＝
2.已知有两个三角形相似，一个边长分别为2，3，4，另一个对应边长分别为x，y，12，则x，y的值分别为_________________________．
6，9或8，16或18，24
解：分三类情况： ＝ ＝ 或 ＝ ＝ 或 ＝
＝ ，
可得x、y的值分别为6，9或8，16或18，24.
随堂练习
随堂练习
3．如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，FG＝2，则CF的长是(　　)
A．4 B．4.5 C．5 D．6
D
∴AB∥CD∥EF，
又 ∵DC∥FE，
4．如图，AB⊥AE，DC⊥AE，EF⊥AE，垂足分别为A、C、E，求证： ＝ .
证明：∵AB⊥AE，DC⊥AE，EF⊥AE，
∴△ABD∽△FED，
∴ ＝ .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
随堂练习
5．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，试求线段BF的长．
解：∵DE∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝FC＝5，
∴BC＝15.
∵DE∥BC，DF∥EC，
∴BF＝15－5＝10cm.
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
随堂练习
2.当相似比等于1时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.
1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似 比等于对应边的比；
相似三角形的判定