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第二十二章 相似形
第2课时 相似三角形的判定(2)
22.2 相似三角形的判定
观察与思考
问题1:这两个三角形有什么关系?
全等三角形
那这样变化一下呢?
相似三角形定义:
对应角……?
对应边……?
问题2 根据相似多边形的定义,你能说说什么叫相似三角形吗?
相似三角形
全等是一种特殊的相似
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
SSS(边边边)
如何判定两个三角形相似?
问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些?
五种
SAS(边角边)
ASA(角边角)
AAS(角角边)
HL(斜边,直角边)
需证明对应角相等,对应边成比例.
相似三角形的判定定理1是什么?如何推导?
相似三角形判定定理1
相似三角形判定定理1的证明
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.(简称:两角分别相等的两个三角形相似).
如图在△A′B′C′和△ABC中,∠A′=∠A,∠B′=∠B.求证:△A′B′C′∽△ABC.
证明:在△ABC的AB上截BD=B′A′,
探究
过D作DE∥AC,交BC于E.
∴△ABC∽△DBE.
∴∠BDE=∠A′.
∵∠BDE=∠A,∠A=∠A′,
∵∠B=∠B′,BD=B′A′,
∴△DBE≌△B′A′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
如图,D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点,DE∥BC, AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长.
解:∵DE∥BC,
B
A
D
E
C
例1
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴BC=14.
∴ =
相似三角形判定定理1的应用
已知:如图,AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为点B、点D,C在线段BD上,AC⊥CE.求证:AB·DE=BC·CD.
【分析】欲证AB·DE=BC·CD,可证 = ,则证明△ABC∽△CDE即可,由题意可知∠1+∠2=90°,∠1+∠A=90°,则∠2=∠A.于是Rt△ABC∽Rt△CDE.
证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=90°,又∠1+∠A=90°,∠1+∠2=90°,
∴∠A=∠2,
∴△ABC∽△CDE,
∴ = ,即AB·DE=BC·CD.
如图所示,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ACD=∠ABC,求证:AC2=AB·AD.
证明:∵AC平分∠DAB,
例2
又∵∠ACD=∠ABC,
∴∠DAC=∠CAB,
∴△ADC∽△ACB,
∴AC2=AB·AD.
∴ = ,
随堂练习
2.如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,当∠APD=60°时,CD的长为__________.
6
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB于点E,BD=10,AC= BC,DE= ___.
3.如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽_________∽________.
△EGC
△EAB
随堂练习
4.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC,EF∥AB,
∴∠AED=∠C,
∠A=∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
随堂练习
5.如图,已知∠1=∠2=∠3,
求证:△ABC∽△ADE.
证明:∵∠1=∠2,
随堂练习
∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
∵∠2=∠3,∠AFE=∠DFC,
即∠E=∠C,
∴180°-∠2-∠DFC=180°-∠3-∠AFE,
∴△ABC∽△ADE.
证明:∵ 在△ ABC中,∠A=40 ° ,∠B=80 ° ,
6. 如图,△ABC 和 △DEF 中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80 °,∠F=60 ° .求证:△ABC ∽△DEF.
A
C
B
F
E
D
随堂练习
∴ ∠C=180 °-∠A-∠B=60 °.
∵ 在△DEF中,∠E=80 °,∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E,∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
证明: ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F,
D
C
A
B
E
F
随堂练习
7. 如图,△ABC 的高 AD、BE 交于点 F.
求证: =
∴ ∠FEA=∠FDB=90°,
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB,
∴ =
利用两角判定三角形相似
定理:两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用