沪科版九年级数学上册 22.2.5 直角三角形相似的判定 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第二十二章 相似形
第5课时　直角三角形相似的判定
22.2 相似三角形的判定
旧知回顾
1．全等三角形的判定方法有哪些？
2．我们学过的相似三角形的判定有哪些？
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似；
三边对应成比例两三角形相似；
两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似；
两角对应相等，两三角形相似．
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？
观察与思考
直角三角形相似的判定定理的证明
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°， = .求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
设 ＝ ＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′.
由勾股定理，得：BC＝ ，
B′C′＝ ，
∴ = = = =K .
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)．
∴ = =
A
B
C
那么△ABC∽△A1B1C1.
A1
B1
C1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
几何语言
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似.
如果 = =k，
又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.
求证：△ABC∽△B′C′A′.
例1
证明：在Rt△ABC中，
BC= =3
∴ = = .
∴ = = .
∴ = .
∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
直角三角形相似的判定定理的应用
解：由勾股定理得：CD= = = ,
分 = 或 = ,
两种情况均能得到△ABC和△ACD相似.
如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ ，AD＝2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？
= 或 =
解得BC=2 或 ，
∴AB=3 或 3
已知：如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D.
例2
(1)求证：BC2＝BD·BA；
(2)若AD＝ ，BC＝4，求AC、BD.
证明：(1)∵CD⊥BA，
∴∠BDC＝90°＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC =BD BA .
∴ = ，
(2)由(1)BC2＝BD·BA，
设BD＝x，则4 =x（x+ ）
解得x = ，x ＝－5(舍).
∴AC＝3，BD＝ .
∴AB＝ ＋ ＝5，
由勾股定理AC＝ ＝ ＝3，
如图，△ABC中，∠CAB＝90°，CB的中垂线交BC于点E，交CA的延长线于点D，交AB于点F.求证：AE2＝EF·ED.
例3
证明：∵E是BC中点，AE是Rt△CAB斜边上的中线，
∵∠EAC＋∠EAF＝90°，
∴∠D＝∠EAF.
∴AE＝ BC＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∴∠C＋∠D＝90°，
∵∠AEF＝∠DEA
∴△AEF∽△DEA，
∴AE2＝EF·ED.
∴ ＝ ，
随堂练习
1．判定△ABC∽△DEF，已知∠C＝∠F＝90°，则还应有条件(　　)
D
A．∠B＝∠E　　　
B. ＝　　　
C. ＝　　　
D．以上都对
2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°.依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理由.
解:（1）∵ ∠A=25°，∠C=90°，
（1）∠A=25°，∠B′=65°；
∴ ∠B=65°，
∴ ∠B=∠B′=65°, ∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
随堂练习
解：∵AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8，
（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8；
随堂练习
且∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
∴ = = , = = ,
∴ = ,
3.如图，已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠A=∠A′=90°，AD，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
随堂练习
解：∵∠ADC=∠A'D 'C ', = ,
∴ △ADC∽△A′D′C′,
∴ ∠C=∠C′.
又∵ ∠BAC=∠B'A'C′=90°,
∴ △ABC ∽ △∠A'B'C′.
直角三角形相似的判定定理的证明（两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例）
直角三角形相似的判定
直角三角形相似的判定定理的应用