沪科版九年级数学上册22.3.1 相似三角形的性质 课件 (共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册22.3.1 相似三角形的性质 课件 (共21张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-15 16:34:22 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
第二十二章 相似形
22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质
旧知回顾
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比.
全等三角形是相似三角形，其相似比为1.
共五种，略.
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
相似三角形性质定理1
问题1
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB＝∠A' D' B'＝90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
∴ ＝ ＝k.
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
问题2
把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
结论：相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
(1) 已知 ：两个三角形相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k.
求证： ＝k.
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴ ∠ABC＝∠A′B′C′， ＝ .
又AD，A′D′分别为对应边的中线，
∴ ＝ .
∴ △ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
∴ ＝ ＝ k .
结论：相似三角形对应的角平分线的比也等于相似比．
(2) 已知 ：两个三角形相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k.
求证： ＝k.
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又BE，B′E′分别为对应角的平方线.
∴ △ABE∽△A′B′E′.
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
∴ ∠ABE＝∠A′B′E′.
∴ ＝ ＝ k .
相似三角形性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
图中①②③分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？
①
1
②
2
③
3
①与②的相似比＝______，①与②的周长比＝______；
①与③的相似比＝______，①与③的周长比＝______.
1 : 2
都相似
相似三角形性质定理2和定理3
问题3
1 : 2
1 : 3
1 : 3
结论： 相似三角形的周长比等于相似比．
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
思考：怎么证明这一结论呢？
相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比等于相似比.
①与②的相似比＝______，①与②的面积比＝______；
①与③的相似比＝______，①与③的面积比＝______.
1 : 2
1 : 4
1 : 3
1 : 9
图中①②③分别是边长为1、2、3的等边三角形，回答以下问题：
问题4
结论： 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
①
1
②
2
③
3
求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
思考：怎么证明这一结论呢？
A'
B'
C'
A
B
C
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ k，
∴ ＝ ＝ · ＝k·k＝k2 .
D
D'
相似三角形性质定理3
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为x cm，
解得x＝18.
较长的角平分线长为24 cm.
故这两条角平分线的长分别为18 cm，24 cm.
则由相似性质有 ＝ .
例1
∴△DEF∽△ABC，相似比为1 : 2，
∴△DEF的周长＝ △ABC的周长，
△DEF的周长为12.
如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长．
A
B
C
D
E
F
又∠D＝∠A，
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
例2
∴ ＝ ＝ .
∴ △ADE∽△ABC.
解 ∵ DE//BC，
A
B
C
D
E
如图，△ABC的面积为25，直线 DE//BC，如果 △ADE的面积为9，求 的值.
∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
例3
随堂练习
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为________．
A
B
C
D
E
G
H
2 : 1
8，3
3．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应缩短到原来的_______．
解：∵△ABC∽△DEF，
解得，EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2 cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
4．已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求EH的长．
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
5．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
B
A
C
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，
∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，
∴BC＝20 cm， AC＝25 cm，
A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
∴ ＝ ＝ ＝ ，
B′
A′
C′
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36＝64 (cm2).
B
C
A
D
E
6．如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ＝ ＝ ，求四边形 BCDE 的面积.
解：∵∠BAC＝∠DAE，且 ＝ ＝ ，
定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
定理2
定理3
相似三角形的性质
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
第二十二章 相似形
22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质
旧知回顾
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比.
全等三角形是相似三角形，其相似比为1.
共五种，略.
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
相似三角形性质定理1
问题1
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB＝∠A' D' B'＝90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
∴ ＝ ＝k.
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
问题2
把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
结论：相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
(1) 已知 ：两个三角形相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k.
求证： ＝k.
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，
∴ ∠ABC＝∠A′B′C′， ＝ .
又AD，A′D′分别为对应边的中线，
∴ ＝ .
∴ △ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
∴ ＝ ＝ k .
结论：相似三角形对应的角平分线的比也等于相似比．
(2) 已知 ：两个三角形相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k.
求证： ＝k.
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′.
又BE，B′E′分别为对应角的平方线.
∴ △ABE∽△A′B′E′.
A
B
C
D
E
A'
B'
D'
C'
E'
∴ ∠ABE＝∠A′B′E′.
∴ ＝ ＝ k .
相似三角形性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
图中①②③分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？
①
1
②
2
③
3
①与②的相似比＝______，①与②的周长比＝______；
①与③的相似比＝______，①与③的周长比＝______.
1 : 2
都相似
相似三角形性质定理2和定理3
问题3
1 : 2
1 : 3
1 : 3
结论： 相似三角形的周长比等于相似比．
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
求证：相似三角形的周长比等于相似比.
A
B
C
A1
B1
C1
思考：怎么证明这一结论呢？
相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比等于相似比.
①与②的相似比＝______，①与②的面积比＝______；
①与③的相似比＝______，①与③的面积比＝______.
1 : 2
1 : 4
1 : 3
1 : 9
图中①②③分别是边长为1、2、3的等边三角形，回答以下问题：
问题4
结论： 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
①
1
②
2
③
3
求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
思考：怎么证明这一结论呢？
A'
B'
C'
A
B
C
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ k，
∴ ＝ ＝ · ＝k·k＝k2 .
D
D'
相似三角形性质定理3
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为x cm，
解得x＝18.
较长的角平分线长为24 cm.
故这两条角平分线的长分别为18 cm，24 cm.
则由相似性质有 ＝ .
例1
∴△DEF∽△ABC，相似比为1 : 2，
∴△DEF的周长＝ △ABC的周长，
△DEF的周长为12.
如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长．
A
B
C
D
E
F
又∠D＝∠A，
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB＝2DE，AC＝2DF，
例2
∴ ＝ ＝ .
∴ △ADE∽△ABC.
解 ∵ DE//BC，
A
B
C
D
E
如图，△ABC的面积为25，直线 DE//BC，如果 △ADE的面积为9，求 的值.
∴ ＝ ＝ .
∴ ＝ .
∴ ＝ .
例3
随堂练习
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________．
2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为________．
A
B
C
D
E
G
H
2 : 1
8，3
3．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应缩短到原来的_______．
解：∵△ABC∽△DEF，
解得，EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2 cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
4．已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求EH的长．
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
5．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
B
A
C
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，
∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，
∴BC＝20 cm， AC＝25 cm，
A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
∴ ＝ ＝ ＝ ，
B′
A′
C′
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36＝64 (cm2).
B
C
A
D
E
6．如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ＝ ＝ ，求四边形 BCDE 的面积.
解：∵∠BAC＝∠DAE，且 ＝ ＝ ，
定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
定理2
定理3
相似三角形的性质
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.