沪科版九年级数学上册22.4 图形的位似变换 课件 (共34张PPT)

(共34张PPT)
第二十二章 相似形
22.4　图形的位似变换
了解图形的位似概念，会判断简单的位似图形和位似中心．
理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题．
图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小．
图形的位似变换
旧知回顾
我们已学过的图形变换有哪些？它们的性质是什么？思考后填写下表：
图形变换 图形关系(性质1) 对应顶点关系(性质2)
平移
轴对称
中心对称
全等
对应顶点所连线段平行且相等
全等
全等
对应顶点所连线段被对称轴垂直平分
对应顶点所连线段都经过对称中心
如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？
连接图片上对应的点，你有什么发现？
位似图形的概念
问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
A
B
C
D
E
E'
D'
C'
B'
A'
O
问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O. , , , , 有什么关系？
= = = =
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P 所在的直线都过同一点O,且OP =k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其中k为相似多边形的相似比.
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
位似图形的性质
D
E
F
O
A
B
C
如何把三角形ABC放大为原来的2倍
D
E
F
A
O
B
C
对应点连线都交于位似中心.
对应线段平行或在一条直线上.
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
问题3：从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
= =
把四边形ABCD放大为原来的2倍(即新图与原图位似比为2)．
解：如图，(1)在四边形ABCD所在的平面外任取一点O；
(2)以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD；
例1
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′.使 ＝2；
= = = =
O
B
A
C
D
A′
D′
C′
B′
如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : O′B′＝1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A．4∶1 B． ∶1 C．1∶ D．1∶4
D
练一练
O
A′
B′
C′
D′
B
A
D
C
灯泡
1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比）
3. 对应线段平行或者在一条直线上．
位似多边形的画法
如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.
顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
F
E
D
想一想：你还有其他的画法吗？
A
B
C
O
例2
解：画射线OA,OB,OC;
在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,
使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
画法二：△ABC与△DEF异侧
顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.
A
B
C
O
E
F
D
解：画射线OA,OB,OC;
沿着射线OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F,
OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
把四边形 ABCD 缩小到原来的 1/2.
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
利用位似，可以将一个图形放大或缩小
例3
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 ；
= = = =
问题4：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
= = = =
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
如图，四边形ABCD是一个待测绘的小区.在区内选一个测绘点O（图中已被图板遮住），将图板上测绘图纸的点O1对准测绘点O，再由点O1对准点A，B，C，D在纸上作射线O1A，O1B，O1C，O1D的距离，并按同一比例缩小，在图纸的对应射线上定出点A1，B1，C1，D1，依次连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，即得该小区缩小的平面图.
例4
A1
B1
C1
D1
O1
D
A
C
B
练一练
1.如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为 1 : 5.
(1) 位似中心在△ABC的一条边AB上；
A
C
B
O
●
A′
B′
C′
●
●
假设位似中心点 O 为AB中点，点 O 位置如图所示.根据相似比可确定 A′， B′，C′ 的位置.
●
1.如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为 1 : 5.
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′
( C′ )
●
●
●
练一练
第四步：顺次连接截取点．即连线；最后，下结论．
画位似图形步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心．即选点；
第二步：将位似中心与各关键点连线．即连线；
第三步：在连线所在的直线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例．即做对应点；
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
位似图形坐标系中的位似变换
问题5：在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，B' ( ， )；
A" ( ， )，B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
例4
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
A′
B′
提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
(﹣2× , 4× )
还有其他画法吗？自己试一试.
练一练
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，
画出四边形 OABC 的位似图形，
使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
O
C
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
解：画法一：将四边形OABC 各顶点的坐标都乘 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接O，A'，B',C'.
O
C
2
4
6
4
6
B″
－2
－4
－4
x
y
A
B
A″
C″
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘﹣ ；在平面直角坐标系中描点
O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″.
练一练
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为原来的 k 倍．
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．
A
B
C
D
1. 选出下面不同于其他三组的图形( )
B
随堂练习
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若AB : FG = 2 : 3，则下列结论正确的是( )
A. 2DE = 3MN B. 3DE = 2MN
C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F
B
A
B
E
C
D
N
F
G
H
M
随堂练习
3. 下列说法：
①④
随堂练习
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形一定是位似图形；
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；
④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中 △ABC 与 △A′B′C′ 也是位似的，且位似比相等.
其中正确的有 .
6
随堂练习
4：(孝感中考)在平面直角坐标系中已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为 ，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是_____________________
5. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A (1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .
(－2，1)或(2，－1)．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)，若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为__________________.
(3，4)，(0，4)
随堂练习
7．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是___________．
(2，0)
随堂练习
8.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
A
B
C
解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
D
E
F
随堂练习
位似的概念及画法
位似图形的概念和性质
画位似图形
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换和图形变换
平面直角坐标系中的位似图形的画法