沪科版九年级数学上册 23.2.2 仰角、俯角与解直角三角形 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
选用恰当的直角三角形，解题思路分析．
仰角俯角
旧知回顾
1．什么是解直角三角形？
2．在下列所给的直角三角形中，不能求出解的是(　　)
A．已知一直角边和所对的锐角　　B．已知一直角和斜边
C．已知两直角边 D．已知斜边和一锐角
答：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
B
某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3500 m的山峰顶点B处的水平距离.
．
A
B
．
．
思考：你能想出个可行的办法吗
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
仰角与俯角的定义
如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD＝52°，已知测角器的架高CE＝1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米)
答：树高AB为11.8m.
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8m.
由tan∠ACD=，得
AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°
=8×1.2799≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）.
例1
1. 如图所示，一架飞机在空中A点测得飞行高度为h米，从飞机上看到地面指挥站B的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为(　　)
D. 米
A．h·sinα米
B．h·cosα米
C．h·tanα米
α
A
B
C
h
D
随堂练习
A
B
C
D
α
β
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°，β=60°.
较为复杂的仰角与俯角的问题
例2
A
B
C
D
α
β
由分析可知α=30°，β=60° Rt△ABD中，a =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.
解：如图，α = 30°,β= 60°，AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
∵tanα=tanβ=
∴BD=AD·tanα=120×tan30°
=120×=40(m)
∴CD=AD·tanβ=120×tan60°
=120×=120(m)
BC=BD+CD=4+120
=160≈277.1(m)
广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)
h＋AB＋FD＝3＋3＋1＋0.5
解：设AP＝h米，
∴BF＝PB＝(h＋1)米
∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5
在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°
∴h＝(h＋6)tan30°
则气球的高度为：
A
B
D
F
C
E
P
3h＝(h＋6)，则h＝3＋3，
∵∠PFB＝45°
＝(h＋6)米
≈9.7米
例3
如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C,D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50 m.已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米？
（精确到1 m）
B
D
C
B1
C1
D1
45°
30°
A
50
单位：（m）
例4
解：设AB1=xm.
在Rt△AC1B1中，
得tan∠AD1B1=＝
在Rt△AD1B1中，
即 =
解方程式得 x=25(+1)
≈68
∴AB=AB1+B1B，
≈68+1
=69（m）
答：电视塔的高度为69m
得C1B1=AB1，
B
D
C
B1
C1
D1
45°
30°
A
50
单位：（m）
由∠AC1B1=45°,
由∠AD1B1=30°,
随堂练习
1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平
面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_______米.
2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为________米.
图①
B
C
A
图②
B
C
A
D
30°
60°
100
20
随堂练习
3．(广东中考)如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°(A、B、D三点在同一直线上)．请你根据他们测量的数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)
∴BC＝AB＝10，
∵sin60°＝，
∴CD＝BCsin60°
∴∠A＝∠ACB，
在Rt△CBD中，
＝10×
＝5≈8.7(m)
解：∠ACB＝60°－30°
＝30°，
A
B
C
D
40m
54°
45°
4. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰Rt△BCD中，∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中tan∠ADC=,
∴AC=tan∠ADC·DC
tan54°×40≈1.38×40＝55.2(m)，
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2(m)
随堂练习
5. 如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(≈1.7)
随堂练习
45°
30°
B
A
C
D
所以，楼房CD的高度约为32.4米.
解：作BE⊥CD于点E，
则CE＝AB＝12，
在Rt△BCE中，BE＝＝ ＝12，
在Rt△BDE中，
DE＝BE tan∠DBE＝12·tan45°＝12，
∴CD＝CE+DE＝12+12 ≈32.4，
E
6. 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45°，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37°≈0.6，tan 37°≈0.75）
随堂练习
A
B
37°
45°
400米
P
在Rt△POB中，
∠PBO=45°
在Rt△POA中，
∠PAB=37°，
OB=PO= x米.
解得x=1200.
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.设PO=x米，
故飞机的高度为1200米.
tan∠PAB==0.75
即=0.75
O
仰角、俯角问题的常见基本模型：
模型一
A
D
B
E
C
模型二
A
B
D
C
α
β
模型三
α
β
B
C
D
A
模型四
α
β
利用仰俯角解直角三角形
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
仰角、俯角的概念