沪科版九年级数学上册 23.1.1 正切 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第1课时 正切
直角三角形中某个锐角的正切值；了解坡度的有关概念．
理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
正切
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思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
陡
陡意味着倾斜程度大
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
A
C
B
铅直高度
水平宽度
相关概念
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角
问题1：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
4m
2m
A
B
C
4m
3m
F
E
D
问题2：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
4m
2m
E
F
D
3m
2m
A
B
C
问题3：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
3m
6m
D
E
F
C
2m
B
4m
A
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
问题4：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
倾斜角越大，梯子越陡.
2m
5m
A
B
C
3m
6m
D
E
F
1．探究：(1)Rt△AB1C1和RtAB2C2有什么关系？
2．和有什么关系？
3．如果改变B2C2在梯子上的位置(如B3C3)，和有什么关系？
B3
B2
C2
C3
A
C1
B1
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；
=
=
由此你得出什么结论？
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,
即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边∠C
结论:tanA的值越大，梯子越陡.
tanA=
∠A的对边
∠A的邻边
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
A
B
C
如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
∴CD＝1.5，
解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，
∴tanC＝＝＝1.
1.5
A
B
C
D
3
例1
下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
β
6m
乙
8m
α
5m
甲
13m
解:甲梯中,tanα==
乙梯中,tanβ = =
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
例2
tanB= =
( )
BC
( )
BD
tanA= =
( )
AC
( )
AD
随堂练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则
tan A=_____，tanB =______．
2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
A
B
C
D
BC
CD
AC
CD
互余两锐角的正切值互为倒数.
随堂练习
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
3.已知∠A,∠B为锐角，
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.
=
=
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；
坡度（坡比）：坡面的高度h和水平长度l的比称
为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
i＝(坡度通常写成h∶l的形式)．
i＝=tanα
归纳：坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高了_____米．
6
答：i＝tanB＝＝，
设AC＝3x，BC＝4x，
由勾股定理求得x＝2，
∴AC＝6，即升高6米．
A
B
C
┌
10m
i＝3∶4
例3
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.6
解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，
∵BC＝2米，
∴i＝＝，
∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
∴AB＝＝＝2(米)．
A
B
C
i＝1∶3
2米
【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键．
B
例4
已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离均为h，距形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值为(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
在Rt△BCF中，tanα＝＝＝，故选C.
解：过A作AE⊥l4于E，过C作CF⊥l4于F，
∵∠ABE＋∠α＝∠α＋∠BCF＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴Rt△ABE∽Rt△BCF，＝，即＝ ，
∴BF＝，
B
D
A
C
l4
l3
l2
l1
F
E
C
例5
随堂练习
1．如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则tanα等于( 　)
A. B.
C. D.
C
2．如图②，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是(　　)
A．100m B．100m
C．150m D．50m
随堂练习
3．已知如图③：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠ACD＝α，AC＝1，BC＝3，则tanα＝_____．
②
③
A
随堂练习
4. 在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
D
∵BD=5，AD=12.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
∴tanB＝＝，
A
C
B
13
13
5. 在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA= ,求AC和BC.
4k
┌
A
C
B
15
3k
随堂练习
解：如图，∵tanA＝＝=，
∴（3k）2+（4k）2=152
∴25k2=225.
∴BC=3k=3×3=9.
AC=4k=4×3=12
6. 如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M、N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，
∴ DM=1BN=DM=1.
随堂练习
∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵ M、N两点关于对角线AC对称,
∴tan∠ADN=tan∠DNC＝＝，
A
D
B
N
M
C
4
1
7. 如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.
（1）求S与x的函数关系式；
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
M
解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，
随堂练习
P
O
A
x
y
（x，y）
S=×OA×PM= y
又∵点P在直线y=-x+6上，
∴x=2.
∴AM=OA-OM=5-2=3.
如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点, 点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.
（2）当S=10时,求tan∠PAO 的值.
解：∵S= y=10，
∴ y=4，
∴tan∠PAO=＝，
M
P
O
A
x
y
（x，y）
随堂练习
正切
定义
与梯子倾斜程度的关系
坡度
∠A越大，tanA越大,
梯子越陡
tanA=
∠A的对边
∠A的邻边
i=tanα=
铅直距离
水平距离