沪科版九年级数学上册课件 23.1.2 正弦和余弦(共24张PPT)

(共24张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时 正弦和余弦
使学生理解锐角正弦、余弦的定义．
会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
正弦和余弦
理解锐角正弦、余弦的定义；会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值．
旧知回顾
1．什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？
答：在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度，记作：i，即i＝.
2．如图∠A＝30°，B1C1⊥AC，BC⊥AC，则 、 值是什么？
答： ＝ ＝
C1
A
C
B
B1
A
B
C
A'
B'
C'
＝
＝
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
sinA= =
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
解： 在Rt△ABC中，
∴ BC=200×0.6=120.
∵sinA= ,
即 =0.6,
A
B
C
200
例1
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,sinA= 求:△ABC的周长和面积.
解: 在Rt△ABC中,
20
┐
A
B
C
例2
∵sinA= = ,BC=20,
∴ = ,
∴AB= =25 ,
∴AC= =15 ,
∴C△ABC=25+20+15=60.
∴S△ABC= =150.
问题2：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
＝
＝
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
cosA= =
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.
5
5
6
A
B
C
┌
D
例3
解：过A作AD⊥BC于D，则在Rt△ABD中
AB=5，已知BD=3,AD=4.
∴sinB= = ,
∴cosB= = ,
∴tanB= = ,
问题3：如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
sinA的值越大,梯子越陡;
cosA的值越小,梯子越陡.
A
8
10
6
8
10
6
A
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(　 )
A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70°
C．sin70°＜cos70°＜tan70°
D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.
【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.
D
例4
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
cosA= =
sinA= =
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
在Rt△ABC中,∠C=90°,如图,已知AC=12,BC=5,求∠A的各个三角函数.
┌
A
C
B
12
5
解：在Rt△ABC中，
∵AB=12，BC=5,∠C=90°，
∴AB= =13 ,
∴sinA= = ,
∴cosA= = ,
∴tanA= = .
例5
10
┐
A
B
C
思考:我们发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握
如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10, 求:AB,sinB.
cosA= ,
解：∵cosA= = , AC=10,
∴ = ,
∴AB= = ,
∴sinB= = = .
例6
如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.
x
y
o
(3,4)
P
α
解: 过点P作x轴的垂线，垂足为Q.
例7
在Rt△PQO中，OQ=3，QP=4，得
OP= =13 ,
∴sinα= = ,
cosα= = ,
∴tanα= = ,
Q
sinA=cosB
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
cosB= =
sinA= =
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
6
随堂练习
1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长是______．
2．已知A为锐角，tanA＝ ，则sinA＝___ ，
cosA＝______ ．
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且
cosα＝ ，AB＝4，则AD的长为_____．
随堂练习
4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为4x，
A
M
E
D
B
C
∵M是AD的中点，BE=3AE，
∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x．
∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2
∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2
∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2
∴EC2=EM2+CM2
△EMC为直角三角形.
由勾股定理可知，
∴sin∠ECM= = =
由勾股定理逆定理可知，
随堂练习
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
A
B
C
6
10
解：∵sinA= ,
∴sinA= = =
又∵AC = = =8 ,
∴cosA= =
∴tanA= =
随堂练习
A
B
C
∴设AC=15k，则AB=17k
解：cosA= =
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
∴BC = = =8k,
∴sinA= = =
tanA= = =
A
B
C
8
随堂练习
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA、cosB的值．
解：∵tanA= = ,AC=8,
∴BC= AC= ×8=6,
∴AB = = =10,
∴sinA= = = ,
cosB= = = ,
正弦和余弦
cosA= =
sinA= =
tanA= =
在Rt△ABC