沪科版九年级数学上册 23.2.3 方位角与解直角三角形 课件(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册 23.2.3 方位角与解直角三角形 课件(共26张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-15 16:38:16 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时 方位角与解直角三角形
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
方位角的辨别和使用．
方位角
如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB.
你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？
思考：
方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫_______．如下图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°
45°
O
东
西
北
南
A
B
D
C
60°
30°
80°
方位角
北偏东
南偏东
东南方向
南偏西
北偏西
如图一般以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上。已知灯塔C四周10n mile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile。
A
C
B
30°
60°
北
东
例1
A
C
B
30°
60°
北
东
在Rt△ACD中，AD==
由AB=AD－BD得
AB=
在Rt△BCD中，BD==
即 =20
解方程得 x=10＞10
答：这船继续向东航行是安全的
D
解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x n mile
如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
60°
30°
C
B
A
M
北
北
例2
60°
30°
C
B
A
M
北
北
D
∴若继续向正东方向航行，该货船没有触礁危险．
解：过C作CD⊥AB于点D.
由题意可知：AB＝24×＝12，
∠CAB＝90°－60°＝30°，
∠CBD＝90°－30°＝60°.
在Rt△BDC中，tan60°＝，
∴BD＝CD.
在Rt△ADC中，tan30°＝，
∴AD＝CD.
又AD＝AB＋BD，
∴ CD＝12＋CD，
∴CD＝6＞9.
已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)
D
B
C
A
观测点
港口
北
东
53.2°
16km
79.8°
例3
故AC＝AH－CH
解：过B作BH⊥AC交AC延长线于H.
在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，
AB＝≈20.
在Rt△ABH中，
∠BAH＝79.8°－53.2°＝26.6°，
tan∠BAH＝，tan26.6°＝≈ ，
∴AH＝2BH.由BH2＋AH2＝AB2＝202
得BH＝4(取正值)、AH＝8.
在Rt△BCH中，
CH＝＝2.
BC＝40×＝10，
＝6≈13.4(km)
＝8－2
H
D
B
C
A
观测点
港口
北
东
53.2°
16km
79.8°
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)
A
C
B
P
65°
34°
80
例4
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里．
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈129.66.
A
C
B
P
65°
34°
80
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)．
200km
45°
30°
A
B
F
E
P
北
东
练一练
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即PC＋PC＝200，
解得 PC≈126.8km＞100km.
200km
45°
30°
A
B
F
E
P
C
练一练
得到实际问题的答案．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
得到数学问题的答案；
一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．
分析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．
B
C
D
P
A
图①
60km
45°
30km
C
D
P
A
B
图②
60km
45°
30km
例5
∴在Rt△CDP中，
解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，
CD＝30km，BC＝60km，
∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，
DP===10(km)
∴AD＝DC＝30km.
在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，
AP=AD+DP=(30+10)(km)
(2)如图②，同理可求得
AP=AD－DP=(30－10)(km)
∴∠BCP＝∠B＝30°.
∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°.
DP=10 km，AD＝30km.
B
C
D
P
A
图①
60km
45°
30km
C
D
P
A
B
图②
60km
45°
30km
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所 成的小于90°的水平角，叫方向角.
随堂练习
1.如图，小红从A地向北偏东30°方向走100m到B地，再从B地向西走200m到C地，这时小红距A地( )
A．150m B．100m C．100m D．50m
B
B
C
D
A
东
北
南
西
100m
30°
200m
2.如右图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6km，则AB＝_________km.
6km
北
东
A
B
D
C
30°
3
随堂练习
3.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S的最近距离是______海里．
随堂练习
6
B
A
S
30°
60°
北
东
西
南
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
B
C
A
45°
30°
600km
随堂练习
B
C
A
45°
30°
600km
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＋BD＝AB，
∴AD=,AD=
(+1)CD=600,CD=300(－1).
∴在Rt△BCD中，BC=300(－1).
∴在Rt△ACD中，AC=600(－1).
747－600＝147(km)
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km.
D
∴AC＋BC＝600(－1)+300(－1)≈747
随堂练习
5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
随堂练习
海岸线
B
D
C
北
35°
A
瞭望台
l
40米
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°
∵tan∠BCD=，
∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2（米）
∵cos∠BCD=，
∴BD==≈70.2（米）
∴t甲≈+10=38.6（秒），t乙≈=35.1（秒）
∴t甲＞t乙
答：乙先到达B处
海岸线
B
D
C
北
35°
A
瞭望台
l
40米
随堂练习
方位角与解直角三角形
依据
解法:求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
第二十三章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第3课时 方位角与解直角三角形
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
方位角的辨别和使用．
方位角
如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC、CB.
你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？
思考：
方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫_______．如下图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°
45°
O
东
西
北
南
A
B
D
C
60°
30°
80°
方位角
北偏东
南偏东
东南方向
南偏西
北偏西
如图一般以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上。已知灯塔C四周10n mile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile。
A
C
B
30°
60°
北
东
例1
A
C
B
30°
60°
北
东
在Rt△ACD中，AD==
由AB=AD－BD得
AB=
在Rt△BCD中，BD==
即 =20
解方程得 x=10＞10
答：这船继续向东航行是安全的
D
解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x n mile
如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
60°
30°
C
B
A
M
北
北
例2
60°
30°
C
B
A
M
北
北
D
∴若继续向正东方向航行，该货船没有触礁危险．
解：过C作CD⊥AB于点D.
由题意可知：AB＝24×＝12，
∠CAB＝90°－60°＝30°，
∠CBD＝90°－30°＝60°.
在Rt△BDC中，tan60°＝，
∴BD＝CD.
在Rt△ADC中，tan30°＝，
∴AD＝CD.
又AD＝AB＋BD，
∴ CD＝12＋CD，
∴CD＝6＞9.
已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)
D
B
C
A
观测点
港口
北
东
53.2°
16km
79.8°
例3
故AC＝AH－CH
解：过B作BH⊥AC交AC延长线于H.
在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，
AB＝≈20.
在Rt△ABH中，
∠BAH＝79.8°－53.2°＝26.6°，
tan∠BAH＝，tan26.6°＝≈ ，
∴AH＝2BH.由BH2＋AH2＝AB2＝202
得BH＝4(取正值)、AH＝8.
在Rt△BCH中，
CH＝＝2.
BC＝40×＝10，
＝6≈13.4(km)
＝8－2
H
D
B
C
A
观测点
港口
北
东
53.2°
16km
79.8°
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)
A
C
B
P
65°
34°
80
例4
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里．
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈129.66.
A
C
B
P
65°
34°
80
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)．
200km
45°
30°
A
B
F
E
P
北
东
练一练
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即PC＋PC＝200，
解得 PC≈126.8km＞100km.
200km
45°
30°
A
B
F
E
P
C
练一练
得到实际问题的答案．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
得到数学问题的答案；
一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．
分析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．
B
C
D
P
A
图①
60km
45°
30km
C
D
P
A
B
图②
60km
45°
30km
例5
∴在Rt△CDP中，
解：分两种情况：
(1)如图①，在Rt△BDC中，
CD＝30km，BC＝60km，
∴∠B＝30°.
∵PB＝PC，
DP===10(km)
∴AD＝DC＝30km.
在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，
AP=AD+DP=(30+10)(km)
(2)如图②，同理可求得
AP=AD－DP=(30－10)(km)
∴∠BCP＝∠B＝30°.
∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°.
DP=10 km，AD＝30km.
B
C
D
P
A
图①
60km
45°
30km
C
D
P
A
B
图②
60km
45°
30km
解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所 成的小于90°的水平角，叫方向角.
随堂练习
1.如图，小红从A地向北偏东30°方向走100m到B地，再从B地向西走200m到C地，这时小红距A地( )
A．150m B．100m C．100m D．50m
B
B
C
D
A
东
北
南
西
100m
30°
200m
2.如右图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6km，则AB＝_________km.
6km
北
东
A
B
D
C
30°
3
随堂练习
3.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S的最近距离是______海里．
随堂练习
6
B
A
S
30°
60°
北
东
西
南
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
B
C
A
45°
30°
600km
随堂练习
B
C
A
45°
30°
600km
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＋BD＝AB，
∴AD=,AD=
(+1)CD=600,CD=300(－1).
∴在Rt△BCD中，BC=300(－1).
∴在Rt△ACD中，AC=600(－1).
747－600＝147(km)
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了147km.
D
∴AC＋BC＝600(－1)+300(－1)≈747
随堂练习
5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).
随堂练习
海岸线
B
D
C
北
35°
A
瞭望台
l
40米
分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°
∵tan∠BCD=，
∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2（米）
∵cos∠BCD=，
∴BD==≈70.2（米）
∴t甲≈+10=38.6（秒），t乙≈=35.1（秒）
∴t甲＞t乙
答：乙先到达B处
海岸线
B
D
C
北
35°
A
瞭望台
l
40米
随堂练习
方位角与解直角三角形
依据
解法:求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数