沪科版九年级数学上册 23.1.3 30°、45°、60°角的三角函数值 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第3课时 30°、45°、60°角的三角函数值
能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
体会三角函数的意义．
30°、45°、60°角的三角函数值
经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，理解正、余弦相互关系式及推导过程.
旧知回顾
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°
(1)sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ，
sinB＝ ，cosB＝ ，tanB＝ ．
(2)若∠A＝30°，则 ＝____．
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
情境引入
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，3个头,尖尖角,我们学习少不了
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？
30°、45°、60°角的三角函数值
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
问题1：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，
另一条直角边长 =
= a
∴sin30°= = ,
cos30°= = ,
tan30°= = ,
30°
60°
∴sin60°= = ,
cos60°= = ,
tan60°= = ,
问题2：设两条直角边长为 a，则斜边长 =
= a
∴sin45°= = ,
tan45°= =1.
cos45°= = ,
45°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sina
cosa
tana
三角函数
锐角a
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；
对于cosα，角度越大，函数值越小.
求下列各式的值：
cos260°表示(cos60°)2，
即(cos60°)×(cos60°).
1. cos260°+sin260°；
例1
解：cos260°+sin260°=（ ）2+（ ）2=1.
提示：
2. －tan45°.
解： －tan45°= ÷ －1=0.
(1)cos260°＋cos245°＋ sin30°sin45°；
解：原式=（ ）2+（ ）2+ × ×
= + + = .
(2) ＋ .
解：原式 + =　
= =﹣6. 　
练一练
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（ ）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
讨论思考
互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系
增大(或减小)
减小(或增大)
1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.
3.若tanA=1，则锐角∠A=_____.
4.在Rt△ABC中，sinB= ,则∠B=_____.
5.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ）
A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 °
C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 °
练一练
45 °
60 °
B
sinA= ∠A=30° sinA= ∠A=60° sinA= ∠A=45°
cosA= ∠A=60° cosA= ∠A=45° cosA= ∠A=30°
tanA= ∠A=30° tanA= ∠A=60° tanA= ∠A=45°
逆向思维:填一填
1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数．
例2
解：在图中，AB= ,BC= ，
∴sinA= = = ,
∴∠A=45°,
A
B
C
练一练
解：在图中，
∴ α = 60°.
A
B
O
如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数.
∵tanA= = = ,
正弦和余弦的关系
从上面的探究中我们不难发现：
sin30°=cos60°
sin60°=cos30°
sin45°=cos45°
规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值.
你还能从中发现什么规律呢？
即sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)，
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝90°－∠A，
cosA＝sinB＝sin(90°－∠A)
∵sinA＝ ，cosA＝ ，sinB＝ ，cosB＝ ，
任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.
例3
解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，求cosB的值
解 ∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=cos(90°-∠A)
=sinA
= .
例4
A
B
C
c
a
b
1：填空：
(1)已知：sin67°18′＝0.9225，则cos22°42′＝______；
(2)已知：cos4°24′＝0.9971，则sin85°36′＝______．
0.9225
0.9971
解：∵∠B＝90°－∠A，∴∠A＋∠B＝90°，
∴cosB＝cos(90°－∠A)＝sinA＝ .
练一练
2：已知sinA＝ ，且∠B＝90°－∠A，求cosB.
3.已知α、β为锐角，且sin(90°－α)＝ ，sinβ＝ ，求
的值．
解：∵sin(90°－α)＝cosα＝ ，
cos(90°－β)＝sinβ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
练一练
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定.
结论：互余两个锐角的正切值互为倒数.
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
邻边
∵tanA＝ ，tanB＝ ，
∴tanA＝ ，
在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程
3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.
90°
【方法总结】利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．
解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，
∠A，∠B是锐角．
∴tanA·tanB＝1.
∴∠A＋∠B＝90°，
例5
练一练
1.在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，sinA= ,求tanB，cosB.
解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，
∴ tanB= .
又∵ sinA= ，
∴ cosB= sinA= .
2.计算：tan33°·tan34°·tan35°·tan55°·tan56°·tan57°
=1
解：原式=(tan33°· tan57°)( tan34°· tan56°)
(tan35°· tan55°)
=1×1×1
练一练
特殊三角函数值的运用
一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
例10
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
∠AOD= ×60°=30°，OD=2.5m,
∵cosA= ,
∴OC=ODcos30°=2.5× =2.165,
A
C
O
B
D
2.5m
30°
随堂练习
D
D
2.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
| sinA－ | ＋ (cosB－ )2 ＝0
1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
随堂练习
3.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
解：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
=1－2× ×
=1－
=3× －1+2×
= －1+
=2 －1
随堂练习
∴ △ABC 是锐角三角形．
4. 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．
解：∵(1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，
∴ tanA＝1，sinB＝
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
解：过点C作CD⊥AB于点D，
随堂练习
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ,AC=2 , 求AB.
∠A=30°，AC=2 .
∵sinA= = ,
∴CD= ×2 = ,
∵cosA= = ,
∴AD= ×2 =3,
∵tanA= = ,
∴BD= × =3,
∴AB=AD+BD=3+2=5
D
A
B
C
2
∴2sin2α+cos2α- 3tan（α+15°）
6.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α＋cos2α－ tan（α+15°）的值．
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
=2sin245°+cos245°- 3tan60°
=2×（ ）2+（ ）2－3× .
= (1－ ) .
30°
45°
60°
30°、45°、60°角的三角函数值
sin30°=
cos30°=
tan30°=
sin45°=
cos45°=
tan45°=
sin60°=
cos60°=
tan60°=