沪科版九年级数学上册 23.2.4 坡度与解直角三角形 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第4课时 坡度与解直角三角形
了解测量中坡度、坡角的概念．
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题．
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题．
坡度与坡角
掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题．
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
A
B
C
1. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
旧知回顾
水平面
α
l
h
i= h : l
坡面
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
i ==tanα
30
1 : 1
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.
1∶
1. 斜坡的坡度是1∶，则坡角α =______度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 ________.
练一练
水平面
α
l
h
坡面
水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．
A
D
B
C
E
60°
16米
16米
8米
(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．
例1
(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
∴需要填土32×150＝4800(立方米)．
解：如图，分别过A、D作下底的垂线，垂足为F、G，
在Rt△ABF中，AB＝16，∠B＝60°，
∴AF＝16sin60°＝8＝DG.
又∵CE＝8，
∴S△DCE＝×8×8＝32.
A
D
B
C
E
60°
16米
16米
8米
F
G
(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．
tan∠DEG＝＝＝＝i.
解：在Rt△DGC中，
CG＝＝ ＝24，
∴GE＝24＋8＝32.
在Rt△DGE中，
A
D
B
C
E
60°
16米
16米
8米
F
G
如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
A
C
B
例2
在Rt△ABC中，∠B=90°，
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
∴ α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
∴sinα==
tanα==0.5
∠A=26.57°，AC=240m，
i=1:2
A
C
B
240m
α
某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E、F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米．
求：(1)∠D的度数；(2)线段AD的长．
A
D
B
C
E
F
3
6
1
例3
∴∠D＝30°.
解：∵四边形BCEF是矩形，
∴∠BFE＝∠CEF＝90°，
∴∠BFA＝∠CED＝90°，CE＝BF＝3米，
∵CD＝6米
A
D
B
C
E
F
3
6
1
(1)∠D的度数；
∴sin∠CDE＝，
∴AD＝AF＋FE＋ED
解：∵sin∠BAF＝，
∴＝ ，
∵BF＝3米，
∴AB＝m，
∴AF＝＝m，
∵CD＝6米，∠CED＝90°，
∠D＝30°，
∴cos30°＝，
∴DE＝3m，
(2)线段AD的长．
＝(＋1＋3 )m.
A
D
B
C
E
F
3
6
1
铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基宽BC=9.8m，高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：底宽AB和斜坡的坡角α和β (精确到 1°)；
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
β
i=1:1.6
E
例4
解： 过C作CF⊥AD于点F，
得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β.
BE=5.8m，=,=,
∴AD=AE+EF+DF
=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),
DF=2.5×5.8=14.5(m).
∵tanα=i=tanβ=i′=，
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和21°
α≈32°，β≈21°.
A
D
B
C
i=1:2.5
5.8
9.8
α
β
i=1:1.6
E
F
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
思考
h
l
α
h
α
l
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1.
h1
l1
α1
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
随堂练习
1.(德州中考)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(　　)
A．4m　　　　　 B．6m
C．12m D．24 m
h
i=1∶2
α
A
B
C
E
D
B
随堂练习
2.如图，某铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，已知路基高AE为5米，左侧坡面AB长10米，则左侧坡面AB的坡度为(　　)
A．1∶2　　　　 B．1∶
C．1∶ D．1∶
A
C
B
D
E
5m
10m
C
随堂练习
3.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为
(　　)
A．5cosα米 B. 米 C．5sinα米　 D. 米
5米
α
B
A
B
随堂练习
4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(　　)
30°
A．(6＋ )米　　　　 B．12米　　　　
C．(4＋2)米　　　 D．10米
A
5．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24m，则背水坡的坡角α为____，拦水坝的高度为_______m.
6．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米．
随堂练习
45°
12
3
(第5题图)
24m
(第6题图)
6
7．某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i≈1∶0.5，求山的高度(不计测角仪的高度，≈1.73，结果保留整数)．
随堂练习
∴x＝＝162.
解：i＝=，
设BC＝x，
则AB＝x.
∵∠D＝30°，
∴DB＝x，
∴x－x＝200，
∴山的高度约为162米．
200米
i≈1∶0.5
8.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)．
随堂练习
55°
A
D
B
C
H
6 m
74°
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sin∠ABE=,
∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77.
cos∠ABE=,
∴BE=ABcos∠ABE=6cos74°≈1.65.
∵AH∥BC，∴DF=AE≈5.77.
在Rt△BDF中，tan∠DBF=,
∴BF=≈≈4.04
∴AD=EF=BF－BE
过点D作DF⊥BC于点F
≈4.04－1.65≈2.4(m).
55°
A
D
B
C
H
6 m
74°
E
F
随堂练习
9. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米，=1.732，=1.414).
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
由题意可知
解：作DE⊥AB， CF⊥AB，
DE＝CF＝4 (米)，
在Rt△ADE中，
∵i===tan45°
答： 路基下底的宽约为22.93米．
AE==4(米)
在Rt△BCF中，同理可得
∴ AB＝AE＋EF＋BF
BF=≈6.93(米)
垂足分别为E、F．
≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．
CD＝EF＝12 (米)．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
E
F
随堂练习
坡度与解直角三角形
依据
解法:化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数