沪科版九年级数学上册 23.2.1 解直角三角形 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第二十三章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
使学生理解直角三角形的五个元素的关系．
会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
直角三角形的解法．
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
解直角三角形
直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理)；
(3)锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°.
解：(1)边角之间关系sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ；
a
c
b
c
a
b
A
C
B
c
b
a
旧知回顾
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°6'，c=287.4,解这个直角三角形(精确到0.1).
解：
∵cosB＝ ，
a
c
∴a＝c cosB＝287.4×0.7420≈213.3 .
∵sinB＝ ，
b
c
∴b＝c sinB＝287.4×0.6704≈192.7 .
∠A＝90 －∠B＝90 －42 6′＝47 54′ .
A
C
B＝42 6′
c
b
a
287.4
已知一边及一锐角解直角三角形
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，b＝ ,
求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,，b＝
在Rt△ABC中，
∴＝2
sinB＝＝
当∠B= 30°
∠A=90°－∠B= 90 －30 ＝60 .
A
C
B
例2
已知两边解直角三角形
已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，求∠B、a、b.
解：a＝csin60°
＝8·
＝12
b＝ccos60°
＝4
∠B＝∠C－∠A
=90°－60°
=30°
＝8
A
C
B
8
60°
例3
随堂练习
1.在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
解：∵AB2=AC2+BC2
∴BC=
=
≈5.5
∵cosA=
∴cosA=0.4
∴∠A≈66°
∵∠A+∠B=90°
∴∠B=90°－∠A
=90°－66°
=24°
2.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3 ，∠A＝30°，求∠B、b、c.
解：∠B＝90°－30°＝60°
b＝atanB＝3·＝9，
∵＝sinA，
∴c＝＝＝6.
A
C
B
3
b
c
）
30°
随堂练习
3.已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝－，a＝－，求∠A、∠B、b.
随堂练习
解：∵＝＝sinA
∴sinA＝
=
=
=
∵∠A＝45°，
∴∠B＝90°－45°＝45°
∴b＝a＝－1.
A
C
B
根据以上探究，解直角三角形有哪些类型？试填写下表
在Rt△ABC中，∠C= 90° 已知 选择的边角关系
斜边和一直角边 c、a
两直角边 a、b
斜边和一锐角 c、∠A
一直角边和一锐角 a、∠A
由sinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－∠A，b＝
由tanA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，c＝
∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA，b＝c·cosA
∠B＝90°－∠A；b＝；c＝
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
A
B
a
b
c
C
直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
A
B
C
45°
60°
6
已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长(结果保留根号)．
∴BC＝BD＋CD
解：作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝
AD＝AB·sinB
∵tanB＝，
在Rt△ADC中，tanC＝
CD＝
＝6×sin45°
＝3 .
BD＝
＝ ＝3
＝
＝
＝3
D
例4
构造直角三角形解决问题
A
B
C
2
30°
45°
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=
在△ABD中，∠B=30°
∴BD=
∴BC=CD+BD=
D
例5
A
B
C
20cm
30cm
55°
解 如图作AB边上的高CD.
在△ABC中，∠A= 55°b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S△ABC(精确到0.1).
∵CD＝AC·sinA＝bsinA ，
∴S△ABC＝AB·CD
∵∠A=55°b=20cmc=30cm时，
∴S△ABC＝bcsinA
＝×20×30sin55
＝×20×30×0.8192
≈245.8(cm2)
D
＝ bcsinA
在Rt△ACD中，
例6
在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，求BC的长.
解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
∵AB=12
∠B=45°
∴AD=BD=ABcosB=12
∴由勾股定理得CD=5
D
A
C
B
①
13
12
当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论
例7
接上一题在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，求BC的长.
∴BC的长为7或17.
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
∴BC=BD+CD=12+5=17.
∵AC=13，
∵AB=12
∠B=45°
∴AD=BD=ABcosB=12
∴由勾股定理得CD=5
解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，
C
B
A
12
13
②
D
A
C
B
5
6
1.如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝，求tanB的值．
解：作CD⊥AB于D，
∵在Rt△ADC中，sinA＝，
∴CD＝6×＝4，
∵在Rt△CDB中，
∴BD＝
∴tanB＝＝
==3,
D
随堂练习
随堂练习
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，c＝2，
则∠A＝_____，b＝____．
60°
1
3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝3，则下底BC的长为______．
10
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　）
A．4 B．6 C．8 D．10
随堂练习
D
5.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sinB＝，则菱形的周长是（　　）
A．10 B．20 C．40 D．28
D
C
A
B
E
C
A
C
B
30°
45°
2
6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
随堂练习
解：作CD⊥AB于D，∠A＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC，cos30°＝
CD＝AC·sin30°＝
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝，
∴AB＝AD＋BD＝3＋
D
随堂练习
7.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝ ，
求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值.
解：∵AD是边BC上的高，AD＝12，
∴sinB＝＝ ，
∴AB＝15，
在Rt△ABD中，BD＝ ＝9
∴DC＝BC－BD＝14－9＝5；
C
B
A
E
D
12
14
已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝ ，
求：（2）tan∠EDC的值.
随堂练习
解：∵E是斜边AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
在Rt△ADC中，tanC＝＝
∴tan∠EDC＝tanC＝ .
C
B
A
E
D
12
14
（1）三边之间的关系a2+b2=c2（勾股定理）
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
A
B
a
b
c
C
（2）两锐角之间的关系∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系
sinA==
sinB==
cosA==
cosB==
tanA==
tanB==
解直角三角形
依据
解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数