人教版数学八年级上册12.3 角的平分线平分线性质 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
12.3角的平分线
第1课时
学习目标
难点
重点
同学们通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.
能运用角的平分线性质解决简单的几何问题
温故知新
新知领航
新知巩固
反馈小结
目
录
温 故 知 新
还记得什么是角的平分线吗？
还记得点到直线的距离是怎么定义的吗？
01
02
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到这条直线的距离。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.。
O
B
C
A
1
2
O
P
A
B
温 故 知 新
P
l
A
B
C
D
A
A
P
P
l1
l2
l1
l2
图1
图2
1.上面图1和图2中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .
图1
2. 图3中能表示点P到直线l的距离的是 .
图3
线段PC的长
新 知 领 航
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗
新 知 领 航
尺规作角的平分线
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
试试动手画一画
观察领悟作法，为何OC是角的平分线呢？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
新 知 领 航
角的平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
P
A
O
B
C
D
E
PD=PE
你能由上面的探究得出证明PD=PE的过程吗
新 知 领 航
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
新 知 领 航
由上面的探究及证明得出：
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用必须具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
用符号语言表示为：
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
A
O
B
P
E
D
1
2
新 知 巩 固
火眼金睛
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
BD CD
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B
A
D
C
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
∴ = ,
( )
×
新 知 巩 固
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
今后应用时不必再证全等
思考： 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 问：EB与FC有什么数量关系？.
A
B
C
D
E
F
新 知 巩 固
思考： 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 问：EB与FC有什么数量关系？.
A
B
C
D
E
F
解：EB=FC，
理由 ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
反 馈 小 结
1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=11,BD=6,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
E
5
反 馈 小 结
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
反 馈 小 结
思考：通过前面的学习证明几何命题需要什么步骤？
角平分线的尺规作图
角平分线的性质定理
角平分线性质的应用
角的平分线应用辅助线的添加
属于基本作图，必须熟练掌握
三个理由，一个不能缺
过角平分线上一点向两边作垂线段，
注意画虚线
注意适用情形
注意证明几何命题的一般步骤
反 馈 小 结
谈一谈本课你有哪些收获与感悟
反 馈 小 结
1、预习下节课内容
2、上交作业：
在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
A
B
E
C
D
同学们，再见！