1 椭圆同步练测（北师大版选修1-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
2.已知椭圆方程为，为原点，为右焦点，点是椭圆右准线上（除去与轴的交点）的动点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.不确定
3.已知曲线C上的动点M(x,y)和向量a=(x+2,y),
b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率
是( )
A. B. C. D.
4.平面内有两定点及动点，设命题甲：“是定值”，命题乙：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么（ ）
A.甲是乙成立的充分不必要条件
B.甲是乙成立的必要不充分条件
C.甲是乙成立的充要条件
D.甲是乙成立的既不充分也不必要条件
5.如果椭圆上两点间的最大距离是，那么（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
6.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.椭圆与连接两点的线段没有公共点，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
9.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于两点，若的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率为 .
10.若焦点在轴上的椭圆上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是 .
11.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为 ．
12.已知椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是 ．
三、解答题（本题共3小题，共36分）
13.（本小题满分12分）已知椭圆的上、下焦点分别为和，点.
（1）在椭圆上有一点，使的值最小，求最小值；
（2）当取最小值时，求的周长
14.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.
15.（本小题满分12分）已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程
一、选择题
1.A 解析：椭圆方程可化为,由焦点在轴上可得长半轴长为,短半轴长为1，所以，解得.
2.C 解析：由题意可设，点，则.
由题意可得，∴ 的方程为，
整理方程，得，即.①
∵ 过点作的垂线与以为直径的圆交于点，∴ ，即.
设，则.整理，得.②
联立①②，得，∴ ．
3.A 解析：|a|+|b|=6表示动点M到两定点(-2,0),(2,0)的距离之和为6,所以曲线C是以(-2,0),(2,0)为焦点,以6为长轴长的椭圆,故离心率e==.
4.B 解析：若点的轨迹是以为焦点的椭圆,则是定值；当时，是定值，但此时点的轨迹是线段,所以甲是乙成立的必要不充分条件.
5.B 解析：由题意得.将椭圆方程化为.由，得.
6.C 解析：由题意设椭圆方程为,与直线方程联立，得消去并整理，得.由弦的中点的横坐标为,可得,解得.所以椭圆方程为.
7.C 解析：∵ 椭圆化成标准形式为，
∴ ，可得.
∴ 椭圆的焦点为，.
设位于椭圆轴上方弧上的点为，则解得（负值舍去）.
∴ △的面积.
8.A 解析：由题意得，当点在椭圆的外部或点在椭圆的内部时，椭圆与连接两点的线段没有公共点，所以或,解得或.
二、填空题
9. 解析：设椭圆的右焦点．
由椭圆的定义得的周长为.
∵ ,
∴ ，当过点时取等号.
∴ 的周长.
∴ 的周长的最大值是.
此时的面积为，∴ .
平方,得,即，∴ .
10. 解析：设椭圆的上顶点为，焦点为,椭圆上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则.由余弦定理可得，即,所以，即，解得.
11. 解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其中，,,所以椭圆方程为.
12. 解析：原方程可化为,，，所以，，.不妨设为右顶点，设所作的等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入曲线方程得，所以.
三、解答题
13.解：由题意知，，，.
∵ 是椭圆上任一点，∴ ，
∴ .
等号当且仅当时成立，此时点共线．
∴ 的最小值为.
（2）当取最小值时，点共线．
的周长．
14.解：（1）设椭圆方程为.
，，所以，所以.
故所求椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程整理，得.
由题意得解得或.
又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是.
15.解：（1）由题意得，.
因为，所以，即所求曲线的方程是.
（2）由消去，得，
解得.
由,解得.
所以直线的方程为或
2 抛物线同步练测（北师大版选修1-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
1.已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且，则（ ）
2.已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，由分别向准线引垂线，，垂足分别为，若为的中点，则=（ ）
A. B. C. D.
3.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知抛物线上两点关于直线对称, 且－,那么的值等于（ ）
A. B. C.2 D.3
5.对于抛物线,我们称满足的点在抛物线的内部.若点在抛物线的内部,则直线与抛物线（ ）
A.恰有一个公共点
B.恰有两个公共点
C.有一个公共点也可能有两个公共点
D.没有公共点
二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
6.已知以原点为顶点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点．若为的中点，则抛物线的方程为 ．
7.过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若线段中点的纵坐标为6，则的值是 .
8.已知直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，点，则线段的中点到准线的距离为 .
9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 ，灯深40 ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处.
三、解答题（本题共4小题，共51分）
10.(本小题满分12分)正方形的一条边在直线上，顶点，在抛物线上，求正方形的边长.
11.(本小题满分13分)已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（1）求曲线的方程；
（2）若曲线上有两个定点分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离
12.(本小题满分13分)如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为 (图中为折痕，点也可以落在边上)．过作∥,交于点，求点的轨迹方程．
13.(本小题满分13分)已知抛物线上两个动点及一个定点，是抛物线的焦点，且，，成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）过点作与垂直的直线交抛物线于两点，若，求△的面积
一、选择题
1.A 解析：设，直线方程与抛物线方程联立，消去，得,
所以，,.又，所以，解得（舍去）.
2.C 解析：①与轴不垂直时，如图所示，
由抛物线的定义，得．
∴ .
由题意可得，∴ ．
∴ ，∴ ．
过点作，交于点，则．
在中，．
∴．
②当轴时，可得．
综上可知．
3.B 解析：抛物线的焦点为（1，0），准线方程为，
∴ 以抛物线的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
∴ 以抛物线的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的方程是．
4.B 解析：由已知条件得两点连线的斜率.
由，得.又因为点在直线上，
所以，即.
因为，两点在抛物线上，
所以.将代入，得.
5.D 解析：将与联立，消去，得，
所以．因为，所以，所以直线和抛物线无公共点.
二、填空题
6. 解析：设抛物线的标准方程为，，，则，.两式相减，得，则，所以，解得，即所求抛物线方程为.
7.1或2 解析：设过点的抛物线的切线方程为，将其与抛物线的方程联立消去，得．①
根据题意，得此方程的判别式等于0，∴ ．
设切线的斜率分别为，则.
此时，方程①有唯一解为，∴ ．
设，则，
∴ ，解得.
8. 解析：由知，，焦点坐标为．
由直线过焦点及点，得直线方程为.
把点代入上式，得，解得，所以.
所以线段的中点为，所以线段的中点到准线的距离为．
9. 解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，点在抛物线上，所以，所以，所以.因此，光源的位置为灯轴上距顶点处.
三、解答题
10.解：设直线的方程为,由消去，得.
设,,则,,所以.
又与的距离,由四边形为正方形有,解得或，
所以正方形的边长为或.
11.解：（1）∵ 曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，
∴ 曲线的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且，
∴ 曲线的方程为.
（2）由抛物线的定义结合可得，点到准线的距离为2，
即点的横坐标为1，代入抛物线方程可得，即，
同理可得.故直线的斜率，
故的方程为，即.
由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离为.
12.解：如图，连接，以边的中点为原点，边所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则．
因为，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分．
设，由，得定点到定直线的距离为4，
所以抛物线的方程为．
在折叠中，线段的长度在区间内变化，而，
所以．故点的轨迹方程为.
13.解：（1）设，，由点在抛物线上，得.①
由，，成等差数列，得，
故线段的垂直平分线方程为
令，得②
由①②，得，所以．
（2）由，,，得．
由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以,．
直线
由得，所以.
所以△的面积是64
双曲线同步练测（北师大版选修1-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、选择题（本题共7小题，每小题5分，共35分）
1.已知方程的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.等轴双曲线与抛物线的准线交于两点，，则双曲线的实轴长等于（ ）
A. B. C.4 D.8
5.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的焦点到直线的距离为( )
A．2 B. C. D.
6.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.方程表示双曲线的充要条件是（ ）
A.或 B.
C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
8.过原点的直线，如果它与双曲线相交，则直线的斜率的取值范围是 .
9.设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．
10.过双曲线的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .
11.已知双曲线的渐近线与圆有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题（本题共3小题，共41分）
12.（本小题满分12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为
13.（本小题满分13分）已知双曲线(＞0，＞0)的右焦点为．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；
（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
14.（本小题满分16分）已知双曲线的离心率，原点到过点的直线的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值
一、选择题
1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即
2.D 解析：设与圆相切于点，因为，所以为等腰三角形，所以.
又因为在直角中，，所以.①
又，②
,③
由①②③解得．
3.C 解析：由题意知，.
当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件；
当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值，
结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件.
综上可得，有3条直线符合条件.
4.C 解析：设等轴双曲线的方程为．①
∵ 抛物线，∴ ．∴ 抛物线的准线方程为．
设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点为，
则，∴．
将，代入①，得，∴ .
∴ 等轴双曲线的方程为，即.∴ 双曲线的实轴长为4．
5.C 解析：双曲线的一条渐近线方程为，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l的距离为.
6.C 解析：将双曲线化为标准方程为则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.
7.A 解析：方程表示双曲线，当且仅当，∴ 或.反之，当或时，双曲线方程中分母同号，方程表示双曲线.
二、填空题
8. 解析：双曲线的渐近线方程为.若直线l与双曲线相交，则.
9. 解析：设,，则，即，.
将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为，即.
10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以，即.由，得
11. 解析：由圆化为，得到圆心，半径．
∵ 双曲线的渐近线与圆有交点，
∴ ，∴ ．∴ ．∴ 该双曲线的离心率的取值范围是．
三、解答题
12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为．
由题意，得解得
所以双曲线的标准方程为．
（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为
由题意，得解得
所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为．
同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为．
方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为
当＞时，，解得．此时，所求的双曲线的标准方程为．
当＜时，，解得．此时，所求的双曲线的标准方程为．
13.解：（1）∵ 双曲线的渐近线方程为，
∴ 若双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得.
∵ ，∴ .
由此可得双曲线的方程为.
（2）设点的坐标为，可得直线的斜率满足，即.①
∵ 以点为圆心，为半径的圆方程为，
∴ 将①代入圆方程，得，解得，.
将点代入双曲线方程，得.
化简，得.
∵ ，∴ 将代入上式，化简、整理，得.
两边都除以，整理，得，解得或.
∵ 双曲线的离心率，∴ 该双曲线的离心率(负值舍去）.
14.解：（1）因为，原点到直线：的距离
所以故所求双曲线的方程为
（2）把代入中,消去，整理，得.
设的中点是，则
所以即.
又,所以,即
第二章 圆锥曲线与方程同步练测（北师大版选修1-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.方程表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
3.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.或
4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知定点，给出下列曲线方程：
①；②；③；④，在曲线上存在点满足的所有曲线方程是（ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
7.已知椭圆，直线交椭圆于两点，△的面积为（为原点），则函数（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.不是奇函数，也不是偶函数
D.奇偶性与有关
8.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于，两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上情况都有可能
10.已知方程和，其中,它们所表示的曲线可能是下列图象中的（ ）
11.已知抛物线上一点 到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
13.已知椭圆与双曲线－ 有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．
14.双曲线的一条准线方程是，则的值为 ．
15.椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个交点,那么的值是 .
16.若过两点和的直线与抛物线 没有交点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17.(本小题满分12分)已知椭圆（＞0）经过点，它的焦距为2，它的左、右顶点分别为是该椭圆上的一个动点（非顶点），点是点关于轴的对称点，直线与相交于点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求点的轨迹方程．
(本小题满分12分)已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值
19.(本小题满分12分)设双曲线，的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三
角形．
（1）求双曲线离心率的值；
（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程．
20．（本小题满分12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程.
（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值．
22．(本小题满分14分)设分别为椭圆：的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质，并加以证明
一、选择题
1.B 解析：由题意知抛物线的准线方程为，椭圆的焦点为.
∵ 椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，∴ ，即．
∴ .解得．∴ ．
2.D 解析：方程可化为．
3.A 解析：由双曲线标准方程的形式可知若表示双曲线，则有或
∴ ．
4.D 解析：由椭圆的方程知，∴，∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．
5.C 解析：∵ 双曲线的渐近线方程为，
∴ 动点与原点连线的斜率为且.
由已知的取值范围为，可得.①
∵ 双曲线的焦距为，即=5，∴ .②
联解①②，可得，∴ 双曲线的方程为.
6.D 解析：要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．
由题意知的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线为.
因为与的斜率相同，所以两直线平行，故两直线无交点，①不符合题意．
将与联立，消去，得，，可知②中的曲线与的垂直平分线有交点，②符合题意.
将与联立，消去，得，，可知③中的曲线与的垂直平分线有交点，③符合题意.
将与联立，消去，得，，可知④中的曲线与的垂直平分线有交点，④符合题意.
7.B 解析：是直线与椭圆相交所得的△的面积，由椭圆的对称性可知 ，所以是偶函数．
8.D 解析：∵ 椭圆的左焦点为，右顶点为，∴ .
∵ 抛物线与椭圆交于两点，
∴ 两点关于轴对称，可设.
∵ 四边形是菱形，∴ .
将代入抛物线方程，得.
∴ .将其代入椭圆方程，得，即.
化简、整理，得，解得
9.B 解析：设的中点为，若在双曲线左支上，则，即圆心距为两圆半径之和，此时两圆外切；若在双曲线右支上，同理可求得，此时两圆内切，所以两圆的位置关系为相切.
10.B 解析：方程可化成，可化成.
对于A，由双曲线可知：，，∴ ，即直线的斜率应大于0，故错；
对于C，由椭圆可知：，，∴ ，即直线的斜率应小于0，故错；同理错.所以选B．
11.B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为
又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.
12. B 解析：设，，，则，，.又可看作点到原点的距离的平方，所以，所以＝.
由题意知，即，则.
二、填空题
13. 解析：因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
所以其焦点位于轴上.由椭圆及双曲线的对称性可知，不妨设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为，由椭圆以及双曲线的定义可得， ，
由①②，得，．所以．
14. 解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为，
因此，，.因为准线方程是，所以，即，
解得.
15. 解析：由题意知，，联立方程得解得
取点坐标为，则，.
∴ .
16. 解析：过两点的直线方程为，将其与抛物线方程联立并消去，得．因为直线与抛物线没有交点，所以方程无解，即，解得．
三、解答题
17.解：（1）由题意得，即，.
∵ 椭圆经过点，
∴ =6，∴ ，∴ .
∴ 所求椭圆的标准方程为.
（2），设，则的方程为.①
的方程为.②
①×②，得.③
∵ 点在椭圆上，
∴ ，即.
代入③，得.
由是椭圆上的非顶点，知，
∴ 点的轨迹方程为.
18.解：由直线过抛物线的焦点，得直线的方程为.
由消去，得.
由题意得.
设直线与抛物线交于，.
，∴ 解得.
19.解：（1）双曲线的右准线的方程为，两条渐近线方程为．
所以两交点坐标为，．
设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形，则有,
所以，即,
解得，．所以．
（2）由（1）得双曲线的方程为．
把代入得．
依题意所以，且．
所以双曲线被直线截得的弦长为
.
因为，所以,
整理，得,所以或．
所以双曲线的方程为或．
20.解：（1）设抛物线方程为，将代入方程得，所以抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.
由题意知椭圆、双曲线的焦点为所以.
对于椭圆，,所以，
，所以，所以椭圆方程为.
对于双曲线，，所以，，
所以，所以双曲线方程为.
（2）设的中点为，的方程为，以为直径的圆交于两点，的中点为
令则，所以
所以
当时，为定值，所以为定值，此时的方程为.
21.（1）解：设椭圆方程为
则直线的方程为代入，并消去得.
令则
由与共线，得
又所以所以
即所以所以故离心率
（2）证明：由（1）知，所以椭圆可化为.
设由已知得，所以
因为点在椭圆上，所以
即 ①
由（1）知
所以
所以
又，代入①得故为定值1.
22.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.
又点在椭圆上，因此，解得，于是.
所以椭圆的方程为，焦点，.
（2）设椭圆上的动点，则线段的中点满足，
即，.因此，即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.
证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中.
又设点的坐标为，由，得.
将代入得
