2.1 曲线与方程同步练测
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45分钟
100分
一、选择题（每小题8分，共32分）
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线 是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0
B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y＋5＝0
3．若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题正确的
是（ ）
A．方程的曲线是
B．坐标满足的点均在曲线上
C．曲线是方程的轨迹
D．表示的曲线不一定是曲线
4.已知是圆上的两点,且||=6,若以为直径的圆恰好经过点(1,-1),则圆心的轨迹方程是( ) A. B.
C.
D.
二、填空题（每小题8分，共24分）
5．已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.
6．若方程与所表示的两条曲线的交点在方程的曲线上，则的值是__________.
7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是 .
三、解答题(共44分)
8.（22分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．
9.（22分）已知△的两个顶点的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边所在直线的斜率之积为求顶点的轨迹方程
一、选择题
1.C 解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0? 故或因此是两个点.
2.D 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
3.D 解析：由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，故方程的曲线不一定是故也不能推出曲线是方程的轨迹，从而得到A，B，C均不正确，故选 D．
4.A 解析：因为以为直径的圆恰好经过点(1,-1),∴ , 故△为直角三角形,又为斜边中点,∴ ,故点的轨迹是以(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为.
二、填空题
5. 4π 解析：设P(x，y)为轨迹上任一点，由｜PA｜＝2｜PB｜得=4即∴所求面积为4π.
6. ±3 解析：联立方程，组成方程组 解得
∵ 方程与所表示的两条曲线的交点在方程+=9的曲线上，
∴ 0+=9，∴ =±3.
7．以两定点的中点为圆心，以2为半径的圆
解析：设两定点分别为A、B，以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点建立直角坐标系，则
A(-3，0)，B(3，0)，设M(x，y)，则=26，即=4.
三、解答题
8. 解：设点M的坐标为(x，y)，
∵ M是线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∴ ＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．
由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，
即x＋2y－5＝0.
∴ 线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
9. 解：设则 = ＝（≠±5）．
由?=? ，化简可得+＝1，
所以动点的轨迹方程为+＝1（≠±5）
2.2 椭圆同步练测
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满分
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45分钟
100分
一、选择题（每小题5分，共20分）
1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长
为，离心率为，则椭圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A． B.
C. D.
3．若AB是过椭圆 (a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM?kBM=（ ）
A． B.
C． D．
4．“-3的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题（每小题5分，共10分）
5. 如果椭圆 的离心率是 ，那么实数k的值为 .
6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为 ．
三、解答题(共70分)
7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程
8.（20分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且 |MD|＝ |PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度
9. （15分）已知椭圆:的右焦点为，离心率为.
(1）求椭圆的方程及左顶点的坐标；
（2）设过点的直线交椭圆于两点，若 △PAB的面积为，求直线的方程
10. （20分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为(2， )，点F2在线段PF1的中垂线上．
求椭圆C的方程
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标
一、选择题
1. D 解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.
2. B 解析：∵ a=2b, 故选B.
3.B 解析： 设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAM?kBM=.
∵A，M在椭圆上，∴，两式相减，可得kAM?kBM= ，故选B．
4.B 解析：由方程表示椭圆知即-3二、填空题
5. 4或- 解析：①当焦点在x轴上时，，，
∴=k-1>0.∴ k>1且e= = = = .解得k=4.
②当焦点在y轴上时， =9， =k+8>0，∴=9-k-8=1-k>0.
∴ -86. 解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中 ，,所以椭圆方程为.
三、解答题
7. 解：易知直线l与x轴不垂直，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)． ①
又设椭圆方程为(a2>4)． ②
因为直线l与圆x2＋y2＝1相切， 故＝1，解得k2＝.
将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，
而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由题意有＝2×(a2>3)，求得a2＝8.经检验，此时?>0.
故所求的椭圆方程为.
8.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，
由已知得∵ 点P在圆上，∴ x2＋2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入椭圆C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.
∴ x1＝，x2＝.
∴ 线段AB的长度为|AB|＝＝＝ ＝.
9.解：（1）由题意可知，，所以.
所以.
所以椭圆的标准方程为，左顶点的坐标是.
(2）根据题意可设直线的方程为,,
由可得.
所以?
所以△PAB的面积
.
因为△PAB的面积为，所以.
令，则.
解得（舍去），.所以.
所以直线的方程为或.
10.解：（1）由椭圆C的离心率e= ，得 ，其中c= .
∵ 椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），
又点F2在线段PF1的中垂线上，∴ |F1F2|=|PF2|，
∴ (2c) 2 =()2+(2-c)2，解得c=1，a2=2，b2=1.
∴ 椭圆的方程为+y2=1．
（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m．
由 消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，且 ，
由已知α+β=π，得
即化简，得
∴整理得m=2k．
∴直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）
2.3 双曲线同步练测
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、选择题（每小题5分，共20分）
1. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
2．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的焦点到直线的距离为( )
A．2 B. C. D.
3．已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
4．我们把离心率为e＝的双曲线 (a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双 曲线；
④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
二、填空题（每小题5分，共10分）
5.已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|
＝________.
6.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .
三、解答题(共70分)
7.（15分）求适合下列条件的双曲线的方程：
（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为；
（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为
8.（20分）已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
9. （15分）如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
10. （20分）已知椭圆的方程为 ，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
(1）求双曲线的方程；
(2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，求的范围
一、选择题
1. A 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为，则有.
又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得 ，所以或.而，得＞2，所以.故（负
值舍去）．
2．C 解析：双曲线的一条渐近线方程为即所以双曲线的右焦点则焦点到直线l的距离为
3.B 解析：∵ |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴ 有c－a≤2a，∴ 14.D 解析：①e＝＝＝＝，双曲线是黄金双曲线．
②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，两边同除以a2，即e2－e－1＝0，从而e＝，双曲线是黄金双曲线．
③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝(a＋c)2，注意到∠F1B1A2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．
二、填空题
5. 5 解析：∵ 双曲线的渐近线方程为3x－y＝0，∴ a＝1.又P是双曲线右支上一点， |PF2|＝3，|PF1|－|PF2|＝2，∴ |PF1|＝5.
6.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以，即由
三、解答题
7. 解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为．
由题意，得解得
所以双曲线的方程为．
（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为
由题意，得解得
所以焦点在轴上的双曲线的方程为．
同理可求焦点在轴上的双曲线的方程为．
方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为
当＞时，，解得．此时，所求的双曲线的方程为．
当＜时，，解得．此时，所求的双曲线的方程为．
8. 解：(1)由16x2－9y2＝144得，
∴ a＝3，b＝4，c＝5.
焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由题意，得||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝＝0.
∴ ∠F1PF2 ＝90°.
9.解：设双曲线方程为 (a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵ ＝2，∴ |PF1|·|PF2|·sin ＝2.
∴ |PF1|·|PF2|＝8.∴ 4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵ e＝＝2，∴ a2＝.∴ 双曲线的方程为＝1.
10. 解：（1）设双曲线的方程为，
再由得，故双曲线的方程为 .
(2）将代入得 .
由直线与双曲线交于不同的两点得
即解得
故k的取值范围为
2.4 抛物线同步练测
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、选择题（每小题5分，共20分）
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
2.抛物线x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
4.圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分，共15分）
5. 已知圆抛物线的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m+｜PC｜的最小值为 .
6．若直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，则直线l的方程为 ．
7.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 灯深40 光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处.
三、解答题(共65分)
8.（15分） 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程
（15分）已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a，－4)到焦点F的距离为5，求抛物线的方程和a的值
（15分）正方形的一条边在直线上，顶点、在抛物线上，求正方形的边长
11.（20分）已知抛物线上两个动点及一个定点是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）过点与垂直的直线交抛物线于两点，若求△的面积．
一、选择题
1. D 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.
2. B 解析： =x的准线为x=- ，焦点为( ，0)，
设由抛物线定义知 =2，∴=2- = .
由= ，得=±.
3.A 解析：∵ 直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，∴ 点P到直线l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线的焦点)，∴ 点 P到直线l1、l2的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离＝2，故选A.
4. D 解析：抛物线的焦点坐标为由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标即圆心是半径长是1，故所求圆的方程为．
二、填空题
5. 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，当C、P、F三点共线时，m+｜PC｜取得最小值
｜CF｜，即 ＝ .
6.x＝1或4x－y－2＝0 解析：当直线l的斜率不存在，即直线l的方程是x＝1时，显然该直线与抛物线
y＝2x2只有一个公共点，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y－2＝k(x－1)，
由消去y得2x2－kx＋(k－2)＝0，
Δ＝k2－8(k－2)＝0，k＝4，
所以直线l的方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
综上所述，直线l的方程是x＝1或4x－y－2＝0.
7 解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为点在抛物线上，所以所以所以
因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm处.
三、解答题
8.解：依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋ p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为点C、D，
则由抛物线定义得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8. ①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由消去y，得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.
将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
9. 解：∵ 抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，∴ 设抛物线方程为x2＝2py(p≠0)．
又点M(a，－4)在抛物线上，且与焦点F的距离为5，
∴ p<0且－＋4＝5.
∴ p＝－2，即抛物线方程为x2＝－4y.将点M(a，－4)代入方程，可得a＝±4.
10. 解：设直线的方程为,由
消去得
设,,则,,所以.
又与的距离,由四边形为正方形有 ,解得或
所以正方形的边长为或.
11. 解：（1）设、
由点在抛物线上，得①
由、、成等差数列得
得线段的垂直平分线方程为
令得②
由①②得所以．
（2）由， 得．
由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以．
直线 由得所以△的面积是64
