2.1 圆锥曲线
2.2 椭圆（苏教版选修2-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题(每小题5分，共60分)
1.已知点A(－1,0),B(1,0),动点P满足PA+PB=3，则动点P的轨迹为________________.
2.已知点A（－2，0），B（2，0），动点M满足|MA－MB|=4，则动点M的轨迹为________________.
3.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M（1，0）的距离等于1，则动点P的轨迹 是________________.
4.直线x－2y＋2=0经过椭圆 （a>b>0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率 为________.
5.“-3＜m＜5”是“方程 表示椭圆”的________条件.（填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要” ）
6.中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为_____________.
7.P为椭圆上的点，是两焦点，若∠P＝30°，则△P的面积是________.
8.椭圆与连结的线段没有公共点，则正数的取值范围是________.
9.如果椭圆 的离心率是 ，那么实数k的值为 .
10.若焦点在轴上的椭圆上存在一点，它与两焦点的连线互相垂直，则的取值范围是_______.
11.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________________.
12.椭圆长轴上一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是_____________.
二、解答题（共40分）
13.(20分)已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率
（1）求椭圆的方程（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.
14.(20分)已知向量，，，(其中是实数).又设向量，，且∥，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程.
填空题
1.以A（－1，0），B（1，0）为焦点的椭圆 解析：由PA+PB=3＞AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以
A（－1，0），B（1，0）为焦点的椭圆．
2.直线AB（不包括线段AB内部的点）上的两条射线 解析：动点M满足|MA－MB|=4=AB，结合图形判断动点M的轨迹为直线AB（不包括线段AB内部的点）上的两条射线．
3.以点M为焦点，直线x=-1为准线的抛物线 解析：将直线x+2=0向右平移1个单位长度得到直线x+1=0，则动点到直线x+1=0的距离等于它到M（1，0）的距离，由抛物线的定义知：点P的轨迹是以点M为焦点，直线x=-1为准线的抛物线．
4. 解析：直线x-2y+2=0过点(0，1)，(-2，0)，∴ c=2，b=1，a= ，e= = = .
5. 必要不充分 解析：由方程表示椭圆知即-3＜m＜5且m≠1.故填“必要不充分”.
6. 解析：方法一：由题意，设椭圆方程为，设直线与椭圆的两个交点分别为），则-得，
∴ =-×=3.又＝2×=1，=（3=3－4=－1， －=3，即3又∴∴ 椭圆方程为.
方法二：由题意，设椭圆方程为,与直线方程联立得消去并整理得.由弦的中点的横坐标为,可得,解得.所以椭圆方程为.
7. 解析：设｜｜＝m，｜｜=n，运用椭圆定义和余弦定理列方程求解.∵ m+n=2a?又由余弦定理有 ? ? = ?mn= ，∴= mnsin 30°= · · ＝4(2- ).
8. 解析：由题意得，当点在椭圆外部或点在椭圆内部时，椭圆与连结的线段没有公共点，所以或,解得或.
9.4或- 解析：①当焦点在x轴上时，a2=k+8＞9，b2=9，
∴=k-1＞0.∴ k＞1且e= = = = .解得k=4.
②当焦点在y轴上时， =9， =k+8＞0，∴=9-k-8=1-k＞0.
∴ -8＜k＜1且e= = = = .解得k=- .
10. 解析：设椭圆的上顶点为，焦点为,椭圆上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则.由余弦定理可得，即,所以，即，解得.
11. 解析：由题意可得PA＋PF=FB=2.又AF=1，所以点的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，其中,,,所以椭圆方程为.
12. 解析：原方程可化为,，，所以，，.不妨设A为右顶点，设所作等腰直角三角形与椭圆的一个交点为，可得，代入椭圆方程得，所以.
二、解答题
13.解：（1）设椭圆方程为，由已知得.又，所以，所以，
故所求椭圆方程为.
（2）设直线的方程为.代入椭圆方程整理得.
由题意得解得或.
又直线与坐标轴不平行，故直线倾斜角的取值范围是.
14.解：（1）由已知，，.
因为∥，所以，即所求曲线的方程是.
（2）由消去得，解得.
由，解得.
所以直线的方程为或.
2.3 双曲线（苏教版选修2-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题(每小题5分，共55分)
1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是 .
2.与双曲线有共同的焦点，且过点（4， )的双曲线的标准方程为 .
3. 若双曲线=1(a0，b0)的离心率是2，
则 的最小值为 .
4. 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线 的离心率是 .
5.若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有 条.
6.设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 .
7.已知双曲线=1(a＞0，b＞0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点，若OM⊥ON，则双曲线的离心率为 .
8.过原点的直线，如果它与双曲线相交，则直线的斜率的取值范围是 .
9. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 ．
10.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .
11. 已知过点P(-3，0)的直线l与双曲线 =1交于A、B两点，设直线l的斜率为≠0)，弦AB的中点为M，OM的斜率为为坐标原点)，则·= .
二、解答题（共45分）
12.（14分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．
13.（15分）直线与双曲线的右支交于不同的两点，求实数的取值范围．
14.（16分）已知双曲线的离心率，原点到过的直线的距离是
（1）求双曲线的方程（2）已知直线交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求出的值.
一、填空题
1. 解析：由方程的图象是双曲线知，,即
2. 解析：可设与已知双曲线有共同焦点的双曲线的方程为 =1(-9＜k＜16)，再将已知点(4，3 )代入上面的方程可得到 - =1，解得k=12或k=-84(舍去).故双曲线的标准方程为.
3. 解析：由离心率e=2，得 =2，从而b= a＞0，所以 =a+ ≥2 =2 = ，
当且仅当a= ，即a= 时，“＝”成立.
4. 或 解析：由题意，=2×8=16，∴ m=±4.当m=4时，=1表示椭圆，e= = ；当m=-4时， =1表示双曲线，e= = .
5.3 解析：双曲线方程化为标准方程为，则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x轴垂直的直线满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的2条直线满足题意，因此这样的直线共有3条.
6.2 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为，则有.
又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得，所以或.由，得＞2，所以.故．
7. 解析：MN为双曲线的通径，其长度为 ，又因为OM⊥ON且OM＝ON，∴ 在等腰Rt△MON中，有 =c，∴=ac，∴=ac，∴=0，∴ e= （负值舍去） .
8. 解析：双曲线的渐近线方程为若直线l与双曲线相交，则
9. 解析：设双曲线方程为．将代入，
整理得．由根与系数的关系得，则．
又，解得，，所以双曲线的方程是
10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A在圆上，所以F为圆的圆心，且所以，即由
11. 解析：设，，，，则线段AB的中点M的坐标是 ， )，直线AB的斜率 ，直线OM的斜率 ，故·，
又双曲线的方程为，
故，故= .
二、解答题
12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为．
由题意，得 解得，．
所以焦点在轴上的双曲线的方程为．
（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为
由题意，得解得
所以焦点在轴上的双曲线的方程为．
同理可求得焦点在轴上的双曲线的方程为．
方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为
当＞时，，解得．此时，所求的双曲线的方程为．
当＜时，，解得．此时，所求的双曲线的方程为．
13.解：将直线的方程代入双曲线的方程后，
整理得．
依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故
解得的取值范围是．
14.解：（1）因为原点到直线：的距离
所以 故所求双曲线方程为
（2）把代入中,消去，整理得.
设的中点是，则
所以即.又,所以,即
2.4 抛物线
2.5圆锥曲线的统一定义（苏教版选修2-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共45分）
1.抛物线x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为 .
2.若抛物线（p>0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为 .
3.圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是 .
4. 边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是 .
5.对于抛物线, 我们称满足的点在抛物线的内部. 若点在抛物线的内部, 则直线与抛物线的公共点的个数是 .
6.已知以原点为顶点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点．若为的中点，则抛物线的方程为 ．
7. 已知圆，抛物线的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m+PC的最小值为 .
8.已知抛物线上两点关于直线对称, 且－, 那么的值等于 .
9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 ，灯深40 ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处.
二、解答题（共55分）
10.（12分）求下列曲线的焦点坐标与准线方程：
（1）x2+2y2=4；
（2）2y2－x2=4；
（3）x2+y=0．
11.（13分）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计成多少？（精确到整数位）
12．（14分）已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.求a，b的值.
13.（16分）已知抛物线上两个动点及一个定点，是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）过点与垂直的直线交抛物线于两点，若，求△的面积
一、填空题
1. 解析： =x的准线为直线x=- ，焦点为( ，0)，设，，由抛物线定义知 =2，∴=2- = .由= ，得=± .
2. 2或18 解析：设该点坐标为(x，y)，由题意知y=6，x+ =10，∴=2p(10- )，解得p=2或18.
3. 解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径是1，故所求圆的方程为．
4. 解析：画出图形即可求得A的坐标为或，B的坐标为或，设所求抛物线方程为=±2px（p＞0），将A、B点的坐标代入即可求得方程.
5.0 解析：由与联立，消去，得，所以．因为，所以，直线和抛物线无公共点.
6. 解析：设抛物线的标准方程为，，，则，.两式相减可得，则，所以，解得，即所求抛物线方程为.
7. 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，当C、P、F三点共线时，m+PC取得最小值为CF的长，即m+PC=＝ .
8. 解析：由条件得、两点连线的斜率.
由，得.又因为在直线上，
即，即.
因为、两点在抛物线上，
所以.将代入得.
9. 解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，点在抛物线上，所以，所以，所以.因此光源的位置为灯轴上距顶点cm处.
二、解答题
10.解：（1）将方程化为标准方程得： +＝1，∴ a=2，b= ，
∴=－=2，∴ c= ，∴ 焦点坐标为（±，0），准线方程为x=±2 .
（2）将方程化为标准方程得： ＝1，∴ a= ，b=2，
∴=+=6，∴ c= ，∴ 焦点坐标为（0，±），准线方程为x=± .
（3）由抛物线方程为=－y，对比标准方程=－2py（p＞0）可得2p=1，p= ，
∴焦点坐标为（0，－ ），准线方程为y= ．
11.解：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为=-2py(p＞0)，依题意有P(-1，-1)，P在此抛物线上，代入得p= ，故抛物线方程为=-y.又B在抛物线上，将B(x，-2)代入抛物线方程得x= ，即AB＝ ，则水池半径应为AB+1＝ +1，
因此所求水池的直径为2(1+ )≈5.即水池的直径至少应设计成5 m.
12.解：设F（c，0），直线l：x－y－c=0，由坐标原点O到l的距离为 ，
则 ＝ ，解得c=1.又e＝＝ ，∴ a＝ ，b＝ .
13. 解：（1）设、，由点在抛物线上，得.①
由、、成等差数列得，
得线段的垂直平分线方程为
令，得②
由①②得，所以．
（2）由,,, 得．
由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以,．
直线 由得所以△的面积是64
2.6 曲线与方程（苏教版选修2-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线 是__________.
2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝MQ，则Q点的轨迹方程是__________.
3．已知双曲线C：x2－＝1，过点(1,1)作直线l，使l与双曲线C只有一个交点，满足这个条件的直线l共有__________条.
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作一条直线l交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则=__________.
5．若点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，则圆心M的轨迹方程为____________．
6．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．
7. 已知点A(-2，0)，B(3，0)，若动点P满足·＝2，则动点P的轨迹方程是__________.
8. 已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等 于__________.
二、解答题(共60分)
9.（10分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求线段AB中点M的轨迹方程．
10.（10分）设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·＝1的点，求点P的轨迹方程
11.（12分）已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，点F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值.
(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足MG·NG＝OG2(O为坐标原点)，求·的取值范围．
12.（12分）已知，椭圆C经过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值
13.（16分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- .
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB和△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由
一、填空题
1. 两个点 解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0? 故或因此方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示两个点.
2. 2x－y＋5＝0 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
3.4 解析：数形结合可知,当斜率不存在、与两条渐近线平行时所作的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程为y＝kx＋(1－k)，并将其与双曲线方程联立消元，利用判别式为0可求得k＝，也符合．所以共有4条．
4.-4 解析：特殊值法．设直线l的方程为x＝，则x1＝x2＝.∴ y1＝－y2＝p.∴ ＝－4.
5. 解析：已知圆的方程为(x－3)2＋y2＝64，其圆心为C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P点，所以MP等于动圆的半径r，即MP＝r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即MC＝8－r，从而有MC＝8－MP，即MC＋MP＝8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝CP，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a＝8，a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7.因此M点的轨迹方程为.
6. 解析：设,，则，即，.将代入双曲线方程得点的轨迹方程为，即.
7.-x-8=0 解析：设P(x，y)，则＝(-2-x，-y)，＝(3-x，-y)，由·＝2可得-x-8=0.
8. 4π 解析：设P(x，y)为轨迹上任一点，由PA＝2PB得=4，即，∴ 所求面积为4π.
二、解答题
9. 解：设点M的坐标为(x，y)，
∵ M是线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∴ ＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．
由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.
∴ 线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
10.解：设P点的坐标为(x，y)，
则由方程x2＋2y2＝4，得2y2＝4－x2，y＝±，
∴ A，B两点的坐标分别为(x, )，(x，－)，
又·＝1，∴ (0, －y)·(0，－ －y)＝1，
即y2－＝1，∴ ，
又直线l与椭圆交于两点，∴ －2＜x＜2，∴ 点P的轨迹方程为 (－2＜x＜2)．
11.解：(1)由题意得PA＝PB.
∴ PA＋PF＝PB＋PF＝4＞AF＝2，∴ 动点P的轨迹E是以A、F为焦点的椭圆．
设该椭圆的方程为 (a＞b＞0)，则2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝3，
∴ 动点P的轨迹E的方程为.
∵ x2－2ax＋y2＋a2＝1，即(x－a)2＋y2＝1，∴ 曲线Q是圆心为(a,0)，半径为1的圆．
而轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－，0)，(，0)．
若曲线Q被轨迹E包围着，则－＋1≤a≤－1，∴ a的最小值为－＋1.
(2)设G(x，y)，由＝x2＋y2.
化简得x2－y2＝2，即x2＝y2＋2，
∴ ＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2＋y2－4＝2(y2－1)．
∵ 点G在圆F：x2＋(y－1)2＝16内，∴ x2＋(y－1)2＜16，
∴ 0≤(y－1)2＜16?－3＜y＜5?0≤y2＜25，∴ －2≤2(y2－1) ＜48，
∴的取值范围为[－2,48)．
12.解：(1)由题意，得c＝1，可设椭圆方程为.
因为点A在椭圆上，所以，解得b2＝3，b2＝－(舍去).
所以椭圆方程为.
(2)设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，
代入，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.
设E(xE，yE)，F(xF，yF),因为点A在椭圆上，所以xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率kEF＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.
13. (1)解：因为点B与点A(-1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，-1).
设点P的坐标为(x，y)，由题意得 · =- ，化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4 (x≠±1).
(2)解法一：设点P的坐标为，，点M，N的坐标分别为(3，，(3，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为.
令x=3得，.
于是△PMN的面积 .
又直线AB的方程为x+y=0，AB＝2 ，点P到直线AB的距离d= .
于是△PAB的面积= AB·d=||.
当=时，｜｜= .
又｜｜≠0，所以=||，解得= .
因为=4，所以=± .
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± ).
解法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为，，则 PA· PB sin∠APB＝ PM·PNsin∠MPN.因为sin∠APB=sin∠MPN，所以 ＝ .
所以 = ，即=||，解得= .
因为=4，所以=± .
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± )
第2章 圆锥曲线与方程（苏教版选修2-1）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
160分
一、填空题(每小题5分，共70分)
1.若椭圆的离心率是，则曲线的离心率是 ．
2.方程表示的曲线是 ．
①双曲线；
②椭圆；
③双曲线的一部分；
④椭圆的一部分.
3.已知对k∈R，直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ．
5. 直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同的两点P、Q，若线段PQ中点的横坐标为2，则PQ＝ ．
6.已知点A（3，2），B（－4，0），P是椭圆 上一点，则PA+PB的最大值为 ．
7. 直线y＝2k与曲线（k∈R且k≠0)的公共点的个数是 ．
8.以椭圆的右焦点为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点，椭圆的左焦点为，且直线与此圆相切，则椭圆的离心率为 ．
9.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
10.已知方程和，其中
,它们所表示的曲线可能是下列图象中的 ．
11.已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 ．
12.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
13.已知椭圆与双曲线－有共同的焦点，是椭圆和双曲线的一个交点，则 ．
14.双曲线的一条准线是，则的值为 ．
二、解答题（共90分）
15.(14分)已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3，求的值
16.(14分)已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过点?请说明理由．
17.(14分)设双曲线的离心率为，若右准线与两条渐近线相交于两点，为右焦点，△为等边三角形．
（1）求双曲线的离心率的值；
若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程
18．（16分）已知椭圆的离心率 ，短轴长为2.设是椭圆上的两点，向量m＝ ，n= ，且m·n=0，O为坐标原点.
（1）求椭圆的方程.
（2）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
19．（16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）点P（2，3），Q（2，－3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.
(ⅰ)若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值；
(ⅱ)当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？并说明理由.
20.(16分)设分别为椭圆：的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质，并加以 证明
一、填空题
1. 解析：由椭圆的离心率为，得.设,则,.又双曲线中，.
2.④ 解析：方程可化为．
3.m1且m≠5 解析：∵直线y=kx+1过定点(0，1)，则∴ m≥1且m≠5.
4. 解析：由椭圆的方程知，，∴，
∴ 抛物线的焦点为（－2，0），∴ 抛物线的标准方程是．
5. 2 解析：将y＝kx－2代入y2＝8x得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0,(*)
易知k≠0，Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(k＋1)＞0，∴ k＞－1，且k≠0.
由根与系数的关系，得＝2，∴ k2－k－2＝0，即(k－2)(k＋1)＝0，∴ k＝2或k＝－1(舍)．
此时方程(*)化为x2－4x＋1＝0，∴ x1＋x2＝4，x1·x2＝1，
∴ PQ＝|x1－x2|＝＝·＝2.
6. 10+ 解析：易知B为椭圆的左焦点，因为 ＜1，所以点A在椭圆内.
设椭圆的右焦点为E(4，0)，根据椭圆的定义可得，PB+PE＝2a=10，
故有PA+PB＝PA+10-PE＝10+(PA-PE).
当P、A、E三点不共线时，有PA-PE＜AE；
当P位于射线AE与椭圆的交点处时，有PA-PE＝AE；
当P位于射线EA与椭圆的交点处时，有PA-PE＝-AE；
故有-AE≤PA-PE≤AE.
而AE＝ = ，
所以PA+PB＝10+(PA-PE)∈［10- ，10+ ］.
7. 4 解析：由题意得 k∈R且 k≠0，
消去y得解得｜x｜=1± ＞0，故有4个解.
8.－１ 解析：由题意得，，.
在直角三角形中,,即,整理得.
等式两边同除以，得,即，解得或（舍去）.
故
9.6 解析：由题意，得F(-1，0)，
设点，，则有 =1，解得.
因为＝，，=，，
所以
此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，
因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值 +2+3＝6.
10.② 解析：方程化成，可化成.
对于①：由双曲线图象可知：，，∴，即直线的斜率应大于0，故错；
对于②：由双曲线图象可知：，，∴ ，即直线的斜率应大于0，
又，即直线在轴上的截距为正，故②正确；
对于③④：由椭圆图象可知：，，∴，即直线的斜率应小于0，故③④错.
11. 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.
又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.
12. 解析：设，，，则，，.又可看做点到原点的距离的平方，
所以，所以＝.
由题意知，即，则.
13. 解析：因为椭圆与双曲线有共同的焦点，
所以其焦点位于轴上，由其对称性可设在双曲线的右支上，左、右焦点分别为,
由椭圆以及双曲线的定义可得， ，
由①②得，．所以．
14. 解析：由题意可知双曲线的焦点在轴上，所以.双曲线方程可化为，
因此，，.因为准线是直线，所以，即，
解得.
二、解答题
15. 解：由直线l过抛物线的焦点，得直线l的方程为
由消去，得.
由题意得 ，.
设直线与抛物线交于则.
，解得.
16.解：（1）直线的方程为．
依题意得解得所以椭圆方程为．
（2）假若存在这样的值，由得,
所以． ①
设、，则 ②
而．
当且仅当时，以为直径的圆过点，则，
即，
所以． ③
将②式代入③式整理解得．经验证，使①成立．
综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．
17.解：（1）双曲线的右准线的方程为，两条渐近线方程为．
所以两交点坐标为、．
设直线与轴的交点为,因为△为等边三角形，则有,
所以，即,
解得，．所以．
（2）由（1）得双曲线的方程为．把代入得．
设直线与双曲线的交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2）,
依题意所以，且．
所以双曲线被直线截得的弦长为
.
因为，所以,
整理得,
所以或．
所以双曲线的方程为或．
18.解：(1)由题意知解得 ∴椭圆的方程为=1.
(2)∵≠，设AB所在直线的方程为y=kx+b.
由即=0，
∴∴
∵，.∵ m·n=0，∴=0，
∴)=0，代入整理得=4，
∴ S＝ =1.
∴△AOB的面积为定值1.
19. 解：(1)设椭圆C的方程为=1(a＞b＞0)，
由椭圆的一个顶点为抛物线=8 y的焦点，则b=2 .
由 = ，，得a=4，∴椭圆C的方程为 =1.
(2)(ⅰ)设，，，，直线AB的方程为y= x+t，
代入 ＝1，得
由解得-4＜t＜4.
由根与系数的关系得=-t，.
四边形APBQ的面积S= ×6×||=3 ，
∴当t=0时，=12 .
(ⅱ)若∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k(x-2)，
由
将代入②整理得，
同理PB的直线方程为y-3=-k(x-2)，可得==，
∴，，
= = = ，
∴直线 AB的斜率为定值 .
20.解：（1）椭圆的焦点在轴上，由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.
又点在椭圆上，因此，得，于是.
所以椭圆的方程为，焦点，.
（2）设椭圆上的动点，线段的中点为，则其满足，
即，，因此，即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.
证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中.
又设点的坐标为，由，得.
将代入得.
