数学人教A版2019选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程（共36张ppt)
文档属性
| 名称 | 数学人教A版2019选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程（共36张ppt) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-17 15:59:48 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
直线
3.2.1 双曲线及其标准方程
复习引入
l
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
l
我们知道，平面内与两个定点
的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹是一个椭圆.一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下.
新知探索
问题1：如图，在直线上取两个定点，是直线上的动点.在平面内取定点，，以点为圆心，线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆.
我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.
l
新知探索
如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
l
新知探索
如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
l
新知探索
我们发现，在的条件下，点在线段外运动时，当点靠近定点时，；当点靠近定点时，.总之，点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数().这时，两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
l
一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
l
新知探索
问题2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
l
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设(为大于的常数，).
新知探索
l
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
因为,
所以①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
两边同时除以，得
由双曲线得定义知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，
得.②
新知探索
l
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值都为即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.
我们称方程是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里.
新知探索
思考1：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的把标准方程是什么？
l
如图，双曲线的焦距为，焦点，的坐标分别是，，的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
新知探索
答案：×，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)在双曲线标准方程中，，，且.( )
(2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( )
(3)方程表示双曲线.( )
新知探索
答案：C.
辨析2.(1)若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ).
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
答案：C.
辨析2.(2)已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为( ).
A. B.
C.或D.或
例析
例1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与,的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.
l
解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
由得又，
因此
所以，双曲线的标准方程为.
例析
例2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
l
解：如图，建立平面直角坐标系，使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合.
设炮弹爆炸点的坐标为，
则，即.
又，所以，，.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此
新知探索
l
利用两个不同的观测点测得同一点发出信号的时间差，可以确定点所在双曲线的方程.如果再增设一个观测点，利用(或)两处测得的点发出信号的时间差，就可以确定点所在另一双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组就能确定点的准确位置，这是双曲线的一个重要应用.
问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与例比较，你有什么发现？
新知探索
l
问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程.
化简整理，得
因此，点的轨迹是焦点在轴上的双曲线(除两点外).
解：设则，.
由题意知，即
回顾
3.1例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
l
解：设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
新知探索
l
规律总结：若一个动点与两个定点连线的斜率之积为一个常数.
则当时，轨迹为双曲线(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为椭圆(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为圆(除两点外)，方程为.
练习
题型一：双曲线的定义及应用
例1.若，是双曲线的两个焦点.
(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
(2)若点是双曲线上的一点，且，求的面积.
由定义和余弦定理得，，
，
解：(1)设，根据双曲线的定义知，
即，解得或
(2)由，得
∴，∴
∴
练习
方法技巧：
1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求出结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于
).
2.在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件的应用，其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
变1.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，且，则的面积等于__________.
解：在中，，，，
如图，过作于于，则为的中点，且，
∴，∴.
又∵为双曲线的右支上一点，∴∴
∴由条件知，.
练习
题型二：方程表示双曲线的条件
例2.如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（）.
A. B.或 C. D.或
∴解得或.
答案：D.
解：∵方程表示双曲线，
练习
方法技巧：
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为，则当时，方程表示双曲线.
若则方程表示焦点在轴上的双曲线；
若则方程表示焦点在轴上的双曲线.
练习
变2.若曲线表示双曲线，则的取值范围是（）.
A. B. C.D.
答案：C.
解得.
则有，
解：根据题意，若曲线表示双曲线，
练习
题型三：双曲线标准方程的求法
例3.根据下列条件求双曲线的标准方程.
(1)求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线的标准方程；
设双曲线的标准方程为，
解：法一.(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点，.
将点代入双曲线方程得，又，解得，.
所以双曲线的标准方程为.
练习
题型三：双曲线标准方程的求法
例3.根据下列条件求双曲线的标准方程.
(1)求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线的标准方程；
即双曲线的标准方程为.
解：法二.(定义法)
由题意知双曲线的两焦点，.
且点在双曲线上，则
∴∴.
练习
(2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程.
∵在双曲线上，
解：法一.若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为
若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为
∴解得
同理有解得(不符题意，舍去)
综上，双曲线的标准方程为
练习
(2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程.
将点代入上述方程，得
解：法二.设所求双曲线的方程为
∴解得
所以所求双曲线的标准方程为
练习
方法技巧：
1.求双曲线标准方程的步骤
(1)是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
(2)是指确定,的数值，常由条件列出方程组求解.
2.双曲线标准方程的两种求法
(1)根据双曲线的定义得到相应的，，，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程或(均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
练习
变3.如图，已知双曲线以长方形的顶点为左、右焦点，且过两顶点.若，，求此双曲线的标准方程.
解：设双曲线的标准方程为.
∴双曲线得标准方程为.
∴解得
由题意，得.
练习
题型四：与双曲线有关的轨迹问题
例4.在中，已知，且三个内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.
解：以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.
由正弦定理，得，(为的外接圆半径).
∵，
∴，即，从而有.
练习
题型四：与双曲线有关的轨迹问题
例4.在中，已知，且三个内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.
由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支(除去与轴的交点)
∵，，∴
即所求轨迹方程为.
练习
方法技巧：
求与双曲线有关的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程.
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
[提醒](1)分清双曲线的焦点所在的坐标轴是哪个.
(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
练习
变4.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.
解：如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和，
这表明动点与两定点的距离的差为常数，且.
∵，∴
根据两圆外切的条件，得，.
根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支，
则，∴.
因此所求动点的轨迹方程为.
课堂小结
1.双曲线的定义：
(1)定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
(2)焦点：两个定点叫做双曲线的焦点.
(3)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(4)双曲线就是下列点的集合：
[注]：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数，即，关键词“平面内”.
当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是分别以，为端点的两条射线；当时，轨迹不存在.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P121的练习1——4题；
(3)课本P127习题3.2第1、2、5、6、7题.
直线
3.2.1 双曲线及其标准方程
复习引入
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双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
l
我们知道，平面内与两个定点
的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹是一个椭圆.一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下.
新知探索
问题1：如图，在直线上取两个定点，是直线上的动点.在平面内取定点，，以点为圆心，线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆.
我们知道，当点在线段上运动时，如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆.
l
新知探索
如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
l
新知探索
如图，在的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
l
新知探索
我们发现，在的条件下，点在线段外运动时，当点靠近定点时，；当点靠近定点时，.总之，点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数().这时，两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
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一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
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新知探索
问题2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
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观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设(为大于的常数，).
新知探索
l
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
因为,
所以①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
两边同时除以，得
由双曲线得定义知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中，代入上式，
得.②
新知探索
l
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值都为即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.
我们称方程是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里.
新知探索
思考1：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的把标准方程是什么？
l
如图，双曲线的焦距为，焦点，的坐标分别是，，的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
新知探索
答案：×，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)在双曲线标准方程中，，，且.( )
(2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( )
(3)方程表示双曲线.( )
新知探索
答案：C.
辨析2.(1)若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ).
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
答案：C.
辨析2.(2)已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为( ).
A. B.
C.或D.或
例析
例1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与,的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.
l
解：由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
由得又，
因此
所以，双曲线的标准方程为.
例析
例2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
l
解：如图，建立平面直角坐标系，使两点在轴上，并且原点与线段的中点重合.
设炮弹爆炸点的坐标为，
则，即.
又，所以，，.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此
新知探索
l
利用两个不同的观测点测得同一点发出信号的时间差，可以确定点所在双曲线的方程.如果再增设一个观测点，利用(或)两处测得的点发出信号的时间差，就可以确定点所在另一双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组就能确定点的准确位置，这是双曲线的一个重要应用.
问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与例比较，你有什么发现？
新知探索
l
问题3：如图，点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程.
化简整理，得
因此，点的轨迹是焦点在轴上的双曲线(除两点外).
解：设则，.
由题意知，即
回顾
3.1例3.如图，在，两点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
l
解：设点的坐标为，因为点的坐标为，
所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
新知探索
l
规律总结：若一个动点与两个定点连线的斜率之积为一个常数.
则当时，轨迹为双曲线(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为椭圆(除，两点外)，方程为；
当时，轨迹为圆(除两点外)，方程为.
练习
题型一：双曲线的定义及应用
例1.若，是双曲线的两个焦点.
(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
(2)若点是双曲线上的一点，且，求的面积.
由定义和余弦定理得，，
，
解：(1)设，根据双曲线的定义知，
即，解得或
(2)由，得
∴，∴
∴
练习
方法技巧：
1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求出结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于
).
2.在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件的应用，其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
变1.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，且，则的面积等于__________.
解：在中，，，，
如图，过作于于，则为的中点，且，
∴，∴.
又∵为双曲线的右支上一点，∴∴
∴由条件知，.
练习
题型二：方程表示双曲线的条件
例2.如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（）.
A. B.或 C. D.或
∴解得或.
答案：D.
解：∵方程表示双曲线，
练习
方法技巧：
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为，则当时，方程表示双曲线.
若则方程表示焦点在轴上的双曲线；
若则方程表示焦点在轴上的双曲线.
练习
变2.若曲线表示双曲线，则的取值范围是（）.
A. B. C.D.
答案：C.
解得.
则有，
解：根据题意，若曲线表示双曲线，
练习
题型三：双曲线标准方程的求法
例3.根据下列条件求双曲线的标准方程.
(1)求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线的标准方程；
设双曲线的标准方程为，
解：法一.(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点，.
将点代入双曲线方程得，又，解得，.
所以双曲线的标准方程为.
练习
题型三：双曲线标准方程的求法
例3.根据下列条件求双曲线的标准方程.
(1)求以椭圆的短轴的两个端点为焦点，且过点的双曲线的标准方程；
即双曲线的标准方程为.
解：法二.(定义法)
由题意知双曲线的两焦点，.
且点在双曲线上，则
∴∴.
练习
(2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程.
∵在双曲线上，
解：法一.若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为
若焦点在轴上，设双曲线的标准方程为
∴解得
同理有解得(不符题意，舍去)
综上，双曲线的标准方程为
练习
(2)已知双曲线通过，两点，求双曲线的标准方程.
将点代入上述方程，得
解：法二.设所求双曲线的方程为
∴解得
所以所求双曲线的标准方程为
练习
方法技巧：
1.求双曲线标准方程的步骤
(1)是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
(2)是指确定,的数值，常由条件列出方程组求解.
2.双曲线标准方程的两种求法
(1)根据双曲线的定义得到相应的，，，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程或(均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
练习
变3.如图，已知双曲线以长方形的顶点为左、右焦点，且过两顶点.若，，求此双曲线的标准方程.
解：设双曲线的标准方程为.
∴双曲线得标准方程为.
∴解得
由题意，得.
练习
题型四：与双曲线有关的轨迹问题
例4.在中，已知，且三个内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.
解：以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.
由正弦定理，得，(为的外接圆半径).
∵，
∴，即，从而有.
练习
题型四：与双曲线有关的轨迹问题
例4.在中，已知，且三个内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.
由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线的右支(除去与轴的交点)
∵，，∴
即所求轨迹方程为.
练习
方法技巧：
求与双曲线有关的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程.
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
[提醒](1)分清双曲线的焦点所在的坐标轴是哪个.
(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
练习
变4.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.
解：如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和，
这表明动点与两定点的距离的差为常数，且.
∵，∴
根据两圆外切的条件，得，.
根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支，
则，∴.
因此所求动点的轨迹方程为.
课堂小结
1.双曲线的定义：
(1)定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
(2)焦点：两个定点叫做双曲线的焦点.
(3)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(4)双曲线就是下列点的集合：
[注]：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数，即，关键词“平面内”.
当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是分别以，为端点的两条射线；当时，轨迹不存在.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P121的练习1——4题；
(3)课本P127习题3.2第1、2、5、6、7题.