北师大版八年级上册 5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式课件(共65张PPT)

(共65张PPT)
用二元一次方程组确
定一次函数表达式
回顾思考
1、方程组 有 个解；
2、方程组 有 个解；
3、方程组 有 个解；
0
无数
一
两条直线互相平行，有 交点；
两条直线重合，有 交点；
两条直线相交，有 交点；
0个
无数个
一个
知识源于悟
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
归纳:
归纳
在一次函数
y=kx+b的图象上
点( s , t )
x = s
y = t
方程
ax+by=c 的解
从形到数
从数到形
每个二元一次方程都可转化为一次函数
知识源于悟
益智的“机会”
二元一次方程的解就是一次函数图象的点的 坐标;一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解.
明确
二元一次方程与一次函数的基本关系
议一议：
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问：经过多长时间两人相遇
议一议：
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问：经过多长时间两人相遇
直线型图表示
B
乙
甲
A
120千米
2时,40千米
1时
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问 经过多长时间两人相遇
用图象法 解 行程问题
0
4
1
2
3
l1
l2
t
s
140
120
100
80
60
40
20
150
图象表示
(A)
(B)
可以分别作出两人
s 与t 之间的关系图象，
找出交点的横坐标就行了！
你明白他的想法吗？
用他的方法做一做，
看看和你的结果一致吗？
小明的方法求出的结果准确吗？
1
2
3
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地同时相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问 经过多长时间两人相遇
用方程 解 行程问题
小彬
1 时后乙距A地
120千米,即乙的
速度是 30千米/时,
2 时后甲距A 地 40千米,
故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的速度, 以及
……
你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？
t=3
A、B 两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B 两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离s (千米) 都是骑车时间 t (时) 的一次函数.
1 时后乙距A地120千米,
2 时后甲距A地 40千米.
问 经过多长时间两人相遇
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
你明白他的想法吗？
用他的方法做一做，
看看和你的结果一致吗？
对于乙，s 是t
的一次函数，
可设 s=kt+b。
当t=0时，s=150；
当t=1时，s=120。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值，也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式。
同样可求出甲s与t之间的函数表达式。
再联立这两个表达式，求解方程组就行了。
小颖
提示
消去 s
小明
小亮
小颖
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
小明
小彬
小颖
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。
在以上的解题过程中你受到什么启发？
A.4 B.5 C.6 D.7
C
1
-9
【例2】某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少kg的行李？
【例题】
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意得：
解得
（2）当y=0 时
X =0
x=30
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知数
的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法
知识升华
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，一般步骤如下：
（1）设出函数表达式： y=kx+b
（2）把已知条件代入，得到关于k、b的方程组
（3）解方程组，求出k、b的值
（4）写出其表达式
1.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用
水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（t）的函数关系如图所示.
O
y(元)
x(t)
15
20
27
39
【跟踪训练】
(2)若某用户十月份用水量为10 t，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
(1)分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
(1)分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
解 :（1）当0≤x≤15时，设y=kx，根据题意，可得方 程27=15k，解得
①
当x＞15时，设y=mx+n，根据题意，可得方程组
解得
②
解：当x=10 时（10＜15），
y= x= ×10=18(元)；
当y=51 时（51＞27），
x-9=51
X=25
(2)若某用户十月份用水量为10 t，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
因此应交水费18元，他该月用水25吨
小结 拓展
1、 方法归纳
用图象法解二元一次方程组
优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想.
不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代 数方法,进行细致计算.
2、待定系数法求一次函数的表达式
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
C
1 -9
3．求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和ｘ轴所围成的三角形的面积.
(
)
.
,
,
),
0
,
2
(
2
.
2
.
___
___,
),
3
,
2
(
3
5
.
1
的面积为
则
两点
轴分别交于
且与
经过点
的图象都
与
已知一次函数
则
交点为
的图象
与
已知一次函数
ABC
C
B
y
A
b
x
y
a
x
y
b
k
P
b
x
y
kx
y
D
-
+
-
=
+
=
=
=
-
+
=
-
=
课堂检测
３.求两条直线y=3x-2与
y=-2x+4和ｘ轴所围成的三角形的面积.
答案：
４．如图，两条直线 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
答案：
　３
-１
2
-3
x
y
0
5．（镇江·中考）两直线
的交点坐标为（ ）
A．（—2，3） B．（2，—3）
C．（—2，—3） D．（2，3）
D
6．（咸宁·中考）如图，直线l1:y=x+1与直
线l2:y=mx+n相交于点P（ a，2），则关于x的
不等式x+1≥mx+n的解集为 .
答案： x≥1
7．（梧州·中考）直线y=2x+b与x轴的交点坐标是
（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是x=______
答案：2
8.如图中的两直线l1，l2 的交点坐标可以看作方程组
____________的解
1
2
3
4
x
2
3
4
1
-1
y
0
-1
l1
l2
1
二元一次方程（组）的解与对应的
一次函数图像上的点何关系？
二元一次方程
的解
相应的一次函数
的图像上的点
（数）
（形）
二元一次方程
组的解
两条直线的交点
一次函数与二元一次方程可以相互转化，从形式到内容它们都是统一的。
二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。----图象法解二元一次方程组
(1)写函数(2)作图象(3)找交点(4)写出解
2x+y=4
2x-3y=12
例:用图象法解方程组：
①
②
解：
由①得:
由②得:
作出图象：
观察图象得：交点(3,-2)
∴方程组的解为
x=3
y=-2
x
o
y
y=-2x+4
x-y=-1
2x+y=1
利用图象法解方程组：
①
②
解：
由①得:
作出图象：
观察图象得：交点(0,1)
∴方程组的解为
x=0
y=1
y=-2x+4
y=x+1
由 得:
②
练习：
y
O
x
一次函数与二元一次方程(组)的关系(重点)
例 1：如图 2，已知函数 y＝ax＋b 和 y＝kx 的图象交于点 P，
则根据图象可得，关于 x、y 的二元一次方程组
的解是
________．
图2
归纳： 一般地，每个二元一次方程组都对应两个
__________，于是也对应两条______．从“数”的角度看，解
方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这
个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两
条直线______的坐标．
2．活用方程组，解决函数问题
二元一次方程组和一次函数的关系相当密切，灵活应用它
们“数”和“形”的亲密合作关系，有助于我们解题．
一次函数
直线
交点
1．已知二元一次方程 x＋y＝3 与 3x－y＝5 有一组公共解
x = 2
y =1
，那么一次函数 y＝3－x 与 y＝3x－5 的图象的交点坐标为
(
)
B
A．(1,2)
C．(－1,2)
B．(2,1)
D．(－2,1)
2．小亮用作图象的方法解二元一次方程
组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两
个一次函数的图象 l1、l2如图 4，他解的这个
方程组是(
)
D
图 4
点拨：由图象知，l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2，－2)，代入验证可知只有 D 符合．
如图，直线 　　
的交点坐标是____.
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
【跟踪训练】
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
答案：
温故知新
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
北师大版八年级教材
5.7 用二元一次方程组
确定一次函数表达式
教学目标
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
温故知新
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
１、二元一次方程组与一次函数有何联系
　　二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解。
２、二元一次方程组有哪些解法？
方法一：代入法
方法二：加减法
方法三：图象法
消元法
代数方法
数形结合方法
　　正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决。
温故知新
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
例题：　A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数。1小时后乙距A地80千米； 2小时后甲距A地30千米。问：经过多长时间两人相遇
小亮
1 时后乙距A地 80千米，即乙的速度是20千米/时
2 时后甲距A 地 30千米,故甲的速度是 15千米/时
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
解：设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100
解得：t=
　　用一元一次方程的方法可以解决问题。
这是隐含的条件哦!!
小明
　　可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找 出交点的横坐标就行了。　
你明白他的想法吗？用他的方法做一做！
例题：　A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数。1小时后乙距A地80千米； 2小时后甲距A地30千米。问：经过多长时间两人相遇
温故知新
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
　　用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确。
甲：t=0时，s=0;
t=2时，s=30.
乙：t=0时，s=100;
t=1时，s=80.
例题：　A ,B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数。1小时后乙距A地80千米； 2小时后甲距A地30千米。问：经过多长时间两人相遇
小颖
　　对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b. 当t=0时，s=100；当t=1时，s=80。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式。
你能求出甲的表达式吗？
温故知新
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
解得：
Ｓ＝
用方程组的方法可以解决问题。
１）设关系式；
２）找Ｘ与Ｙ的对应值；
３）代入转化成方程（组）；
４）解方程（组）；
５）写出关系式。
确定关系式的方法
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。
在以上的解题过程中你受到什么启发？
小明
小亮
小颖
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
温故知新
根据题意，得：
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
温故知新
例2 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
１）设关系式；
２）找Ｘ与Ｙ的对应值；
３）代入转化成方程（组）
４）解方程（组）；
５）写出关系式。
确定关系式的方法
解：（1）设y＝kx+b（k≠0）
5=60k+b
10=90k+b
解得：k=1/6,b=-5
∴y与x的函数关系式是：y=1/6x-5
（2）当x=30时，y=0。即旅客最多可免费带30kg的行李。
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
温故知新
已知函数y=2x+b的图象经过点（a, 7）和（－2，a）,求这个函数表达式。
在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出 y 与 x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度。
１）设关系式；
２）找Ｘ与Ｙ的对应值；
３）代入转化成方程（组）；
４）解方程（组）；
５）写出关系式。
确定关系式的方法
新知探究
感悟收获
巩固提高
情景激趣
拓展延伸
温故知新
１）设关系式；
２）找Ｘ与Ｙ的对应值；
３）代入转化成方程（组）
４）解方程（组）；
５）写出关系式。
确定关系式的方法：
像这样，先设出函数关系式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。
【例2】某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少kg的行李？
【例题】
【解析】（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
1.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用
水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（t）的函数关系如图所示.
O
y(元)
x(t)
15
20
27
39
【跟踪训练】
(2)若某用户十月份用水量为10 t，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
(1)分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
【解析】（1）当0≤x≤15时，设y=kx，根据题意，可得方程27=15k，解得
①
当x＞15时，设y=mx+n，根据题意，可得方程组
解得
②
（2）当x=10 时（10＜15），
代入①中可得y=18；
当y=51 时（51＞27），
代入②中可得x=25．
A.4 B.5 C.6 D.7
C
1
-9
３.求两条直线y=3x-2与
y=-2x+4和ｘ轴所围成的三角形的面积.
答案：
４．如图，两条直线 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
答案：
　３
-１
2
-3
x
y
0
5．（镇江·中考）两直线
的交点坐标为（ ）
A．（—2，3） B．（2，—3）
C．（—2，—3） D．（2，3）
D
6．（咸宁·中考）如图，直线l1:y=x+1与直
线l2:y=mx+n相交于点P（ a，2），则x+1≥mx+n的
x取值范围为 .
答案： x≥1
7．（梧州·中考）直线y=2x+b与x轴的交点坐标是
（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是x=______
答案：2
8.如图中的两直线l1，l2 的交点坐标可以看作方程组
____________的解
1
2
3
4
x
2
3
4
1
-1
y
0
-1
l1
l2
1
1.二元一次方程组除了可以利用代入法和加减法进行消元求解外，还可以利用图象法得到它的近似解.
3.体现了数学的数形结合思想.
2.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
a.用含字母的系数设出一次函数的表达式 ；
b.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
c.解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.
——雷巴柯夫
巩固提高
新知探究
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拓展延伸
温故知新
O
y(元)
x(t)
15
20
27
39
某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费 y（元）与用水量x（t）的函数关系如图所示。
1）分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式。
2）若某用户十月份用水量为10 t，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
１）设关系式；
２）找Ｘ与Ｙ的对应值；
３）代入转化成方程（组）；
４）解方程（组）；
５）写出关系式。
确定关系式的方法