江苏省安宜高级中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题

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江苏省安宜高级中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1、设集合，,则 ▲ .
2、用列举法表示集合，其结果应为A= ▲ .
3、设,，则= ▲ .
4、下列各组函数中，是同一个函数的有 ▲ .(填写序号)
①与 ②与
③与 ④与
5、函数的定义域是 ▲ .
6、式子用分数指数幂表示为 ▲ .
7、计算：= ▲ .
8、函数在区间上的最大值是，则 ▲ .
9、已知，则这三个数的大小关系是 ▲ .
(按从小到大的顺序)
10、已知函数，若，则 ▲ .
11、下列对应关系中，是从A到B的映射的有 ▲ .（填写序号）
①,，
②,, A中的元素对应它除以3所得的余数；
③,
12、函数的单调减区间是 ▲ .
13、已知函数满足 且当时总有，其中. 若，则实数的取值范围是 ▲ .
14、已知函数是定义域为的奇函数，在区间上单调递增，且. 若，则的取值范围是 ▲ .
二、解答题 (共6道题，计90分)
15．（本题满分14分）
设全集为, 集合或，.
（1）求，；
（2）已知，若,求实数的取值范围.
16、（本题满分14分）
（1）解方程：
（2）解不等式：
17、（本题满分15分）
已知函数，，
（1）画出函数的图象；
（2）用单调性的定义证明：函数在上为减函数.
18、（本题满分15分）
已知二次函数满足；
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在区间上只有一个实数根，求实数的取值范围；
19、（本题满分16分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数，即（为常数）．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时) 可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
20、（本题满分16分）
已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，恒成立，求m的取值范围.
高一数学期中考试答案20131105
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1、 2、 3、 4、③④ 5、
6、 7、 8、 9、 10、 11、①②
12、 13、 14、
二、解答题：
15、（本题满分14分）
解：（1）=R………………………3分（画数轴略，不画数轴不扣分）
， ∴…………9分
（2）∵，且, ∴…………12分
∴所求实数的取值范围是 …………14分
注：未考虑等号的，各扣1分，计扣2分。
16、（本题满分14分）
解：（1）原方程可化为： ………2分
由于， 所以只有 ………5分
所以原方程的根为 ………7分
（2）原不等式可化为：，
即： ………9分，
， ………12分
所以原不等式的解集为………14分
17、（本题满分15分）
解：（1）函数的图象
当时，
取点和，得射线；……3分
对，取点和
函数的图象如图所示。………7分
注：时的图象，未经过整点和的，扣1分；画到x轴下方的，扣1分，图象上凸画成上凹的，此段不得分，即扣4分。
射线部分，画成不经过整点和的，扣1分，点画成实点的，扣1分；
【建议】：教学中要强化对画图象的规范要求。教师示范，适当练习。
（2）任取，设，…………9分
因为
则 …………11分
而 又 …………13分
所以， 即： …………14分
所以函数在上为减函数. …………15分
18、（本题满分15分）
解：（1）设，所以，
，
…………2分
∴ …………4分
由条件得，
∴函数的解析式 …………7分
（2）函数 ，的图象如图所示 …………10分
当直线与图角的交点情况是：
当时，只有一个交点；
当时，有两个交点；
当时，只有一个交点；…………14分
所以，方程在区间上只有一个实数根，
此时或 …………15分
另解：
方程可化为：
当时，有两个实根： ………10分
时，
时，， 此时方程在区间上有两个根。
时，，此时方程在区间上只有一个根………14分
所以，若方程在区间上只有一个实数根，
的取值范围是。………15分
说明：用代数法讨论时，如果将两个相等的根，不认为是一个根，则不扣分。事实上，用代数法讨论时，注意到对称轴是，则大根在区间内，小根必在；小根不在区间，大根则必不在，这样讨论会很清晰。
19、（本题满分16分）
解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；…………………2分
当20≤x≤200时，设v(x)＝kx＋b，
再由已知，得解得 …………………5分
故函数v(x)的表达式为…………………7分
(2)依题意并由(1)可得 …………………9分
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200； ………………… 11分
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x) ＝
所以当且仅当x＝100时，f(x) 最大值为
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . ……14分
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，. ……15分
答：当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．……………16分 ．
20、（本题满分16分）
解：（1）因为，函数为偶函数.
由，得x(+a)=－x(+a)，…………3分
2a=－(+)＝1，…………5分
解得，a=　　经检验　a=符合题意.　 …………7分
注：若由特殊值求出a=，一定要检验是否恒成立。否则扣3分.
（2）恒成立对恒成立，
∴
∴ …………8分
∵+在[1,3]上为减函数， …………10分
∴对恒成立　 …………13分
∴ …………15分
所以m的取值范围是 …………16分
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