沪科版八年级数学上册 15.3等腰三角形-等腰三角形的性质 一课一练（含答案）

15.3等腰三角形-等腰三角形的性质
一、选择题
1．如图，AD是等腰△ABC的顶角的平分线，E点在AB上，F点在AC上，且AD平分∠EDF，则下列结论错误的是（　　）
A．BE＝CF B．∠BDE＝∠CDF C．∠BED＝∠CFD D．∠BDE＝∠DAE
2．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°．则小意同学判断的依据是（　　）
A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（　　）
A．10° B．15° C．25° D．30°
4．已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（　　）
A．70° B．45° C．40° D．40°或70°
5．如图，点D是△ABC内一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，则以下结论：①AB＝AC；②∠DAC＝∠DCA；③BD平分∠ABC；④BD与AC的位置关系是互相垂直．其中正确的有（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
8．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O＝a，则∠A2020B2020O＝（　　）
A． B． C．4040a D．4038a
9．在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，且∠BAE＝90°，若DE＝1，则BE＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．无法确定
10．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
二、填空题
11．已知一个等腰三角形的一个外角为82°，则这个等腰三角形的底角为 　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为 　 　．
13．某等腰三角形的周长是21cm，一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，该三角形的腰长是 　 　cm．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm，22cm，则AD＝　 　．
15．如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为 　 　．
17．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∠APQ＝　 　度，∠B＝　 　度，∠BAC＝　 　度．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为　 　．
三、解答题
19．如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AB上的点，且AE＝AD，求∠EDB的度数．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCE的周长为10，且AC﹣BC＝2，求AC、BC的长．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
23．如图，△ABC中，BA＝BC，点D是AC延长线上一点，平面上一点E，连接EB、EC、ED、BD，CB平分∠ACE．
（1）若∠ABC＝50°，求∠DCE的度数；
（2）若∠ABC＝∠DBE，求证：AD＝CE．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝　 　；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
答案
一、选择题
D．D．C．D．D．C．D．B．A．D．
二、填空题
11．41°．
12．20°．
13．8或6．
14．7cm．
15．34°．
16．6．
17．60、30、120．
18．108°或72°．
三、解答题
19．∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED75°，
∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
20．∵D是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为10，
∴BC+CE+BE＝10，
∴AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝6，BC＝4．
21．（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，△CBD周长为12，
∴BC＝5．
22．（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠B＝39°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠F，
∴AE＝FE．
23．（1）∵△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝50°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵CB平分∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB＝65°，
∴∠DCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°；
（2）∵△ABC中，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵CB平分∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACB
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△BAD≌△BCE（ASA），
∴AD＝CE．
24．（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．