沪科版八年级数学上册 15.2线段的垂直平分线 一课一练（含答案）

15.2线段的垂直平分线
一、选择题
1．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
2．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
3．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
4．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D，若△AEC的周长是11，则AB＝（　　）
A．28 B．18 C．10 D．7
5．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）
A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
6．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
7．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）
A．50° B．75° C．80° D．105°
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
9．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
10．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小4，则△ADE的面积为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是　 　．
12．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C的度数为　 　．
13．如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝15cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若BC＝8cm，则△EBC的周长为　 　cm．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　 　度．
16．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　 　cm．
17．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝　 　°．
18．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为　 　．
三、解答题
19．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
20．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB，AC边分别为点D，点E，连接BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的周长．
22．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
23．如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB＝AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
24．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝25cm，DA＝15cm，CB＝10cm．动点
E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上？
（2）在（1）的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由．
答案
一、选择题
A．A．B．D．B．A．C．B．C．A．
二、填空题
11．13．
12．35°．
13．m＜17．
14．23．
15．30．
16．18．
17．35．
18．11．
三、解答题
19．连接AB，码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处．
如图：点P就是码头应建的位置．
20．（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
21．（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠CBA﹣∠EBA＝20°；
（2）∵AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得，AC8，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝14．
22．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
23．（1）证明：连接AC，
∵点E是BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵点F是CD的中点，AF⊥CD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD．
（2）∴∠EAF＝∠BAE+∠DAF．
证明∵由（1）知AB＝AC，
即△ABC为等腰三角形．
∵AE⊥BC，（已知），
∴∠BAE＝∠EAC（等腰三角形的三线合一）．
同理，∠CAF＝∠DAF．
∴∠EAF＝∠EAC+∠FAC＝∠BAE+∠DAF．
24．（1）设AE＝acm，则BE＝（25﹣a）cm，
∵点E在线段CD的垂直平分线上，
∴DE＝CE，
由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即152+a2＝102+（25﹣a）2，
解得：a＝10，
即AE＝10（cm），
∴x5，
即当x＝5时，点E在线段CD的垂直平分线上；
（2）DE与CE的位置关系是DE⊥CE，
理由是：∵△ADE≌△BEC，
∴∠ADE＝∠CEB，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠CEB）＝90°，
∴DE⊥CE．