第三章 函数的概念与性质章末检测（基础）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、下列图象中不能表示函数的图象的是( D )
2、(2022·怀宁期中)已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝( A )
A．1 B．2 C．4 D．6
3、已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( B )
A．(－1，1) B．
C．(－1，0) D．
5、(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
6、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( B )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
7、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为( D )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
8、(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( B )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( ABD )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
10、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( BD )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
11、已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( BC )
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
12、(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( BC )
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知f(x)＝则f(7)＝_6__.
14、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝___－x2－x＋1_____．
15、f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为___2_____．
16、设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为___②④_____．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解：（1）∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(3)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
18、已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4．
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1．
由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)．
∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3．
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
19、已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解： (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线
x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，a＝－或－1.
20、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
21、(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明：(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0．
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
22、已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，求m的取值范围；
解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a．
∵a>0，∴g(x)在[2,3]上单调递增，
∴
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，
∵存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，
∴g(x)min＝g(3)＝4<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，
即－mt＋2m2＋3>0对任意的t∈[0,5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数，
∴解得m∈(－∞，1)∪．第三章 函数的概念与性质章末检测（基础）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、下列图象中不能表示函数的图象的是( )
2、(2022·怀宁期中)已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝( )
A．1 B．2 C．4 D．6
3、已知函数y＝f(x)是R上的增函数，则对任意x1，x2∈R，“x1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1，1) B．
C．(－1，0) D．
5、(2022·大庆月考)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)A． B．
C． D．(1，＋∞)
6、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x) D．y＝f(x)＋f(－x)
7、已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－5,0)∪(1，＋∞)
8、(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
10、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
11、已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1) B．(－3，－1)
C．(0,1) D．(1,3)
12、(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知f(x)＝则f(7)＝___.
14、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
15、f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为_______．
16、设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为_______．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
18、已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
19、已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
20、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
21、(1)已知函数f(x)，x∈R，若 a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若 x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
22、已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，求m的取值范围；
