第五章 一元函数的导数及其应用 复习参考题及变式训练——2022－2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章 一元函数的导数及其应用 复习参考题——高二数学人教A版（2019）选择性必修二课后习题
（一）教材课后习题
1.已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4.求：
（1）割线PQ的斜率；
（2）点P处的切线方程.
2.求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
3.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( ).
A. B. C. D.
4.求下列曲线在给定点处的切线方程：
（1），；
（2），.
5.一个距地心距离为r，质量为m的人造卫星，与地球之间的万有引力F由公式给出，其中M为地球质量，G为引力常量.求F对于r的瞬时变化率.
6.求函数的单调区间.
7.已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4.
8.已知函数在处有极大值，求c的值.
9.如图，过点作直线AB，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B.当直线AB在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
10.如图，直线l和圆P，当l从开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数的图象大致是( ).
A. B. C. D.
11.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值.
12.用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
13.用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器.扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大？
14.已知A，B两地的距离是130 km.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设油价是7元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元.那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
15.作函数的大致图象.
16.已知函数.当时，求证.
17.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
（二）定点变式训练
18.已知函数，则的值为( )
A.-2 B.0 C.-4 D.-6
19.函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
20.某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是( )
A.2 m/s B.4 m/s C.7 m/s D.12 m/s
21.函数在区间上的最小值为( )
A.-2 B.0 C. D.
22.函数的单调递增区间为_____________.
23.若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.
24.若曲线的一条切线的方程是，则的最小值是___________.
25.已知函数.
（1）讨论函数的单调性与极值；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1、（1）答案：3
解析：依题意可得，，
所以割线PQ的斜率为.
（2）答案：
解析：，.所以点P处的切线方程为，即.
2、（1）答案：
解析：因为，
所以.
（2）答案：
解析：.
（3）答案：
解析：
.
（4）答案：
解析：.
（5）答案：
解析：因为，，所以.
（6）答案：
解析：因为，，
所以.
3.答案：B
解析：由的图象可知，恒成立，在上是增函数.当越趋近于0时，的函数值越大，所以的图象越靠近y轴，故选B.
4、（1）答案：
解析：，当时，切线的斜率.
切线的方程是，
即.
（2）答案：
解析：
，
当时，切线的斜率.
切线方程是，即.
5.答案：
解析：.
6.答案：单调增区间为，单调减区间为
解析：.
令，即，得，
所以的单调增区间为；
令，得，
所以的单调减区间为.
7.答案：p，q的值分别为-2，5
解析：.由，即，得.
又，即，所以.
故p，q的值分别为-2，5.
8.答案：
解析：.
由，得或.
当时，，
由，得或.
当时，；
当时，；
当时，.
所以在处取得极小值，不合题意，故.
9.答案：当直线AB过点，时，的面积最小，最小值为2
解析：设，
则直线AB的方程为.
所以直线与y轴的交点为.
所以的面积，.
令，得或(舍去).
所以当直线AB过点，时，S最小，最小值为2.
10.答案：D
解析：刚开始增加得缓慢，中间逐渐加快，最后又变得缓慢.故选D.
11.答案：
解析：，，
曲线在点处的切线斜率.
切线方程为，即.
切线与曲线只有一个公共点，将代入，得，
由得.
故所求a的值为.
12.答案：当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为
解析：设一边长为x m，则另一边长为，高为h m.
依题意有，
整理得.
所以容积为.
.
令，即，整理得，
解得或(舍去).
所以当时，V最大，最大值为1.8，此时，
即当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为.
13.答案：当扇形的圆心角为时，容器的容积最大
解析：设圆锥形容器的底面半径为r，高为h，体和为V.
已知，所以，.
令，
解得(舍去).
分析可知是函数V的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，容器的容积最大.
把代入，
得(舍去).
由，得.
即圆心角时，容器的容积最大.
答：当扇形的圆心角为时，容器的容积最大.
14.答案：最经济的车速是53.7 km/h，总费用为271元
解析：设这次行车的总费用是y元，依题意有
.
.
令，得，
即当车速为53.7 km/h时，行车总费用最少.
总费用最少为(元).
15.答案：见解析
解析：函数的定义域为.
.
令得或.
列表如下：
x 0
+ 0 - - 0 +
y 增 1 减 减 增
所以y在区间，上为增函数，在，上为减函数.
令得.
当时，，y的图象过点，.
当x越趋向于负无穷大时，函数值越接近于0，但始终在x轴上方.
根据以上性质，作出函数图象如图所示.
16.答案：见解析
解析：证明：函数的定义域为.
当时，，
故只需证明当时，.
当时，，.
在上单调递增.
又，，
故在有唯一实根.
当时，，当时，，
当时，取得最小值.
由得，，
.
故.
综上可知，当时，.
17、（1）答案：在单调递减，在单调递增
解析：的定义域为，
.
(ⅰ)若，则，所以在单调递减.
(ⅱ)若，则由得.
当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（2）答案：
解析：(ⅰ)若，由(1)知，至多有一个零点.
(ⅱ)若，由(1)知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，
即，故没有零点；
③当时，，即.
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，
则.
由于，
因此在有一个零点.
综上，a的取值范围为.
18.答案：D
解析：因为，所以，解得，所以，所以，故选D.
19.答案：A
解析：，因为，所以，所以切线方程为，即，故选A.
20.答案：D
解析：由题意，得，当时，，所以物体在时的瞬时速度是.
21.答案：D
解析：由题意，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间上的最小值为.
22.答案：，
解析：.
设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，，则当时，.故的单调递增区间为，.
23.答案：
解析：可化为.
令，
设，，则，设，
令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.
24.答案：4
解析：，设切点坐标为，则所以，所以，当且仅当时取“=”，故的最小值为4.
25.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），
.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
（2）若对任意，恒成立，
则恒成立，
即.
设，
则，
令，
解得，
当时，，
当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，
，
当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.