5.3 导数在研究函数中的应用 课后习题-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 5.3 导数在研究函数中的应用 课后习题-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 434.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-17 16:52:26 | ||
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文档简介
5.3 导数在研究函数中的应用——高二数学人教A版（2019）选择性必修二洞悉课后习题
（一）教材课后习题
1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）.
2.导函数的图象如图所示.在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值？
（2）导函数有极小值？
（3）函数有极大值？
（4）函数有极小值？
3.参照第5题，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4.将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
5.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒.
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容积V最大？
6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，.
证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小.
7.已知某商品的生产成本C与产量q之间的关系为，单价p与产量q之间的关系为.产量q为何值时，利润最大？
8.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
（二）定点变式训练
9.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
10.函数的最小值为( ).
A.3 B. C. D.
11.函数的单调递减区间是( ).
A. B. C. D.
12.已知函数没有极值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
13.若函数的最大值为，则实数a的取值范围为_____________.
14.已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为____________.
15.设，曲线在点处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
答案以及解析
1、（1）答案：在R上单调递减，单调递减区间是
解析：因为，
所以函数在R上单调递减，
即函数的单调递减区间是.
（2）答案：函数在上单调递增，单调递增区间是
解析：因为，，
所以，
所以函数在上单调递增，
即函数的单调递增区间是.
（3）答案：函数在R上单调递增，单调递增区间是
解析：因为，所以函数在R上单调递增，
即函数的单调递增区间是.
（4）答案：函数在R上单调递增，单调递增区间是
解析：因为，所以函数在R上单调递增，
即函数的单调递增区间是.
2、（1）答案：在处有极大值
解析：导函数在处有极大值.
（2）答案：在，处有极小值
解析：导函数在，处有极小值.
（3）答案：在处有极大值
解析：函数在处有极大值.
（4）答案：在处有极小值
解析：函数在处有极小值.
3、（1）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
（2）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
（3）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
（4）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
4.答案：，
解析：设弯成的两个小正方形的 长分别为x，y，
则，
于是，
取导数得.令，得.
当时，；当时，，
所以当时，两个小正方形的面积和取得极小值，也是最小值，此时两段铁丝的长分别为，.
5、（1）答案：
解析：已知铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，
所以无盖方盒的底面积和为，高为x，则方盒的容积为.
（2）答案：
解析：，令，解得.
当时，；当时，，
所以当时，取得极大值，也是最大值.
故当时，方盒的容积最大.
6.答案：见解析
解析：证明：因为，
所以.
令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，最小.
7.答案：产量q为84时，利润最大
解析：设收入，
利润.
.令，即，.
当时，，当时，，
当时，y取最大值，即产量q为84时，利润最大.
8.答案：元/件时，利润最大
解析：设销售价为x元/件时，可获得利润y元，则增加的销量为，
所以，
即.
取导数.
令，解得.当时，；
当，时，即销售价为当元/件时，利润最大.
9.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
10.答案：A
解析：令，则，，
令，则，
当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，故函数的最小值为3.故选A.
11.答案：D
解析：函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减，故选D.
12.答案：C
解析：由得，
根据题意得，解得.故选C.
13.答案：
解析：时，，时，，即恒成立.令，则，时，，时，，不合题意.时，恒成立.时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.综上，.
14.答案：13
解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.双极大值，，所以在区间上的最大值为13.
15.答案：（1）（2）的极大值为的极小值为
解析： （1）因为，所以.
由题意知，，故可得，解得.
（2）由（1）可知，
.
令，解得.
因为函数定义域为，所以当或时，
，当时，.
故可得在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
故的极大值为的极小值为.
（一）教材课后习题
1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1）；
（2），；
（3）；
（4）.
2.导函数的图象如图所示.在标记的点中，在哪一点处
（1）导函数有极大值？
（2）导函数有极小值？
（3）函数有极大值？
（4）函数有极小值？
3.参照第5题，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4.将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
5.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒.
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）x多大时，方盒的容积V最大？
6.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，.
证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小.
7.已知某商品的生产成本C与产量q之间的关系为，单价p与产量q之间的关系为.产量q为何值时，利润最大？
8.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%.现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
（二）定点变式训练
9.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
10.函数的最小值为( ).
A.3 B. C. D.
11.函数的单调递减区间是( ).
A. B. C. D.
12.已知函数没有极值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
13.若函数的最大值为，则实数a的取值范围为_____________.
14.已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为____________.
15.设，曲线在点处取得极值.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
答案以及解析
1、（1）答案：在R上单调递减，单调递减区间是
解析：因为，
所以函数在R上单调递减，
即函数的单调递减区间是.
（2）答案：函数在上单调递增，单调递增区间是
解析：因为，，
所以，
所以函数在上单调递增，
即函数的单调递增区间是.
（3）答案：函数在R上单调递增，单调递增区间是
解析：因为，所以函数在R上单调递增，
即函数的单调递增区间是.
（4）答案：函数在R上单调递增，单调递增区间是
解析：因为，所以函数在R上单调递增，
即函数的单调递增区间是.
2、（1）答案：在处有极大值
解析：导函数在处有极大值.
（2）答案：在，处有极小值
解析：导函数在，处有极小值.
（3）答案：在处有极大值
解析：函数在处有极大值.
（4）答案：在处有极小值
解析：函数在处有极小值.
3、（1）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
（2）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
（3）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
（4）答案：最大值为，最小值为
解析：在上的最大值为，最小值为.
4.答案：，
解析：设弯成的两个小正方形的 长分别为x，y，
则，
于是，
取导数得.令，得.
当时，；当时，，
所以当时，两个小正方形的面积和取得极小值，也是最小值，此时两段铁丝的长分别为，.
5、（1）答案：
解析：已知铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，
所以无盖方盒的底面积和为，高为x，则方盒的容积为.
（2）答案：
解析：，令，解得.
当时，；当时，，
所以当时，取得极大值，也是最大值.
故当时，方盒的容积最大.
6.答案：见解析
解析：证明：因为，
所以.
令，解得，
当时，；当时，，
所以当时，最小.
7.答案：产量q为84时，利润最大
解析：设收入，
利润.
.令，即，.
当时，，当时，，
当时，y取最大值，即产量q为84时，利润最大.
8.答案：元/件时，利润最大
解析：设销售价为x元/件时，可获得利润y元，则增加的销量为，
所以，
即.
取导数.
令，解得.当时，；
当，时，即销售价为当元/件时，利润最大.
9.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
10.答案：A
解析：令，则，，
令，则，
当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，故函数的最小值为3.故选A.
11.答案：D
解析：函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减，故选D.
12.答案：C
解析：由得，
根据题意得，解得.故选C.
13.答案：
解析：时，，时，，即恒成立.令，则，时，，时，，不合题意.时，恒成立.时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.综上，.
14.答案：13
解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.双极大值，，所以在区间上的最大值为13.
15.答案：（1）（2）的极大值为的极小值为
解析： （1）因为，所以.
由题意知，，故可得，解得.
（2）由（1）可知，
.
令，解得.
因为函数定义域为，所以当或时，
，当时，.
故可得在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
故的极大值为的极小值为.