3.2.2奇偶性易错分层重点练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

新人教A版 必修一 奇偶性易错分层重点练
（原卷+答案）
必备知识基础练
1．下列函数中是偶函数的是(　　)
A．y＝x4(x<0) B．y＝
C．y＝3x－1 D．y＝|x＋1|
2．下列函数是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x，x∈(－1，1]
3．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　)
4．函数f(x)＝x2－1的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
5．下列函数中，既是奇函数又在定义域内是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝－ D．y＝x|x|
6．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
7．已知f(x)为奇函数，f(2)＝3，则f(－2)＝________．
8．已知函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a＋1，3]，则a的值为________．
关键能力综合练
1．若函数y＝(3x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)
A．1　　　 B．－1 C．　　　D．2
2．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．1
3．函数f(x)＝的图象大致为(　　)
4．已知f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，且f(2)＝0，则下列不等式成立的是(　　)
A．0B．f(5)C．f(－3)D．f(－3)<05．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则f(x－2)>0的解集是(　　)
A．{x|－35}
C．{x|x<－3或x>3} D．{x|x<－5或x>1}
6．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则(　　)
A．f(0)＝0
B．函数g(x)＝xf(x)为奇函数
C．f(－1)＝－7
D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5
7．定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－2)＝________．
8．已知函数f(x)＝，则f(－1)·f(1)＝________；f(x)是________(填奇、偶或非奇非偶函数).
9．已知定义在R上的函数f(x)＝为偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－3
(1)求f(f(1))的值；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)把函数图象补充完整，并写出函数f(x)的单调递增区间．
核心素养升级练
1．符号函数sgn (x)是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为sgn (x)＝若定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋2x，则y＝sgn (f(x))的图象是(　　)
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x3－2x2，则f(2)－g(2)＝________．
3．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式：f(t＋)＋f(t－)<0.
参考答案
必备知识基础练
1．答案：B
解析：对于A，因为函数y＝x4(x<0)的定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故A不符合题意；
对于B，函数y＝f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数为偶函数，故B符合题意；
对于C，函数y＝f(x)＝3x－1的定义域为R，f(－x)＝－3x－1≠f(x)，所以函数不是偶函数，故C不符合题意；
对于D，函数y＝f(x)＝|x＋1|的定义域为R，因为f(－1)＝0≠f(1)＝2，所以函数不是偶函数，故D不符合题意．
2．答案：A
解析：对于A：f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(－x)＝(－x)－＝－(x－)＝－f(x)，所以f(x)＝x－为奇函数，故A正确；
对于B: f(x)＝x2＋1定义域为R，因为f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)＝x2＋1不是奇函数，故B错误．
对于C：f(x)＝x＋1定义域为R，因为f(1)＝1＋1＝2，f(－1)＝(－1)＋1＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)＝x＋1不是奇函数，故C错误．
对于D：f(x)＝x定义域为(－1，1]，不关于原点对称，所以f(x)＝x，x∈(－1，1]不是奇函数，故D错误．
3．答案：A
解析：根据函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，可得函数y＝f(x)·g(x)在x＝0处无意义，故排除CD；由图象可知y＝f(x)的图象关于y轴对称为偶函数，y＝g(x)的图象关于原点对称为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，故排除B.
4．答案：B
解析：函数f(x)的定义域是实数集R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函数，
∴函数f(x)图象关于y轴对称．
5．答案：D
解析：选项A：y＝x＋1不是奇函数，不正确；
选项B：y＝－x3在R是减函数，不正确；
选项C：y＝－定义域上没有单调性，不正确；
选项D：设f(x)＝x|x|，f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，
f(x)是奇函数，f(x)＝x|x|＝，
f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)都是单调递增，
且在x＝0处是连续的，f(x)在R上单调递增，所以正确．
6．答案：D
解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
7．答案：－3
解析：因为f(x)为奇函数，f(2)＝3，
所以f(－2)＝－f(2)＝－3.
8．答案：－4
解析：因为函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a＋1，3]，
则a＋1＋3＝0，解得a＝－4.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：若y＝f(x)，则f(x)＝3x2＋(1－3a)x－a为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，即3x2＋(1－3a)x－a＝3(－x)2＋(1－3a)(－x)－a，
∴2(1－3a)x＝0恒成立，可得a＝.
2．答案：A
解析：∵f(x)＝为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，得a＝.
3．答案：A
解析：函数定义域为{x|x≠±1}，
f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，排除选项CD；
又f(2)＝＝－<0，排除B.
4．答案：B
解析：因为f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝f(3).
又因为f(2)＝0，1<2<3<5，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(1)>f(2)>f(3)>f(5)，
即f(5)5．答案：B
解析：因为f(3)＝0，则f(x－2)>0，
所以f(x－2)>f(3)，
因为f(x)为偶函数，所以f(|x－2|)>f(3)，
因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以|x－2|>3，解得x<－1或x>5，
所以不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．
6．答案：ACD
解析：对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，A正确．
对于B，由g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，得g(x)为偶函数，B错误．
对于C，f(－1)＝－f(1)＝－7，C正确，
对于D，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x－5，D正确．
7．答案：12
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，故可得f(－2)＝f(2)，
又当x≥0时，f(x)＝x3＋x2，故可得f(2)＝12，
综上所述：f(－2)＝12.
8．答案：－25　奇函数
解析：f(1)＝1×(4＋1)＝5，f(－1)＝－1×(4＋1)＝－5，
所以f(－1)·f(1)＝－25.
当x＝0时，f(0)＝0；
当x>0时，f(x)＝x(4＋x)，
则－x<0，则f(－x)＝－x(4＋x)＝－f(x)，
当x<0时，f(x)＝x(4－x)，
则－x>0，则f(－x)＝－x(4－x)＝－f(x)，
综上可得，对任意x∈R，均有f(－x)＝－f(x)成立，故f(x)为奇函数．
9．解析：(1)由题意可得f(x)＝f(－x)，则＝，解得a＝0.
(2)f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
证明如下：
由(1)可得f(x)＝，
令0≤x10，
又f(x1)－f(x2)＝－＝>0，
即f(x1)>f(x2)，故f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
10．解析：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∵f(1)＝1－2－3＝－4，∴f(f(1))＝f(－4)＝－f(4)＝－(16－8－3)＝－5.
(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x＋3；
又f(0)＝0，∴f(x)＝.
(3)f(x)图象如下图所示：
结合图象可知：f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).
核心素养升级练
1．答案：C
解析：依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋2x，
结合f(x)的奇偶性，作出f(x)的大致图象如图所示，
根据sgn (x)的定义可知，选项C符合题意．
2．答案：16
解析：由题意，f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝－x3－2x2，即f(x)－g(x)＝x3＋2x2，
∴f(2)－g(2)＝8＋8＝16.
3．解析：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即＝－，可得b＝0，则f(x)＝，
所以，f()＝＝a＝，
则a＝1，因此，f(x)＝.
(2)证明：函数f(x)在(－1，1)上是增函数，证明如下：
任取x1、x2∈(－1，1)且x1＝＝，
因为－1因此，函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)因为函数f(x)是(－1，1)上的奇函数且为增函数，
由f(t＋)＋f(t－)<0得f(t＋)<－f(t－)＝f(－t)，
由已知可得，解得－因此，不等式f(t＋)＋f(t－)<0的解集为(－，0).