2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式:
一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是或。其中均为常数,。
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系:
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
或
一.选择题(共41小题)
1.(2021秋 巫山县期末)若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0,m],值域为[,﹣4],则m的取值范围是( )
A.(0,4] B. C. D.
2.(2021秋 青山区期末)已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤﹣3或a≥﹣2 D.﹣3≤a≤﹣2
3.(2022秋 南阳月考)不等式﹣x2+3x+18<0的解集为( )
A.{x|x>6或x<﹣3} B.{x|﹣3<x<6} C.{x|x>3或x<﹣6} D.{x|﹣6<x<3}
4.(2021秋 南宁期末)关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6<0的解集为( )
A.{x|x<﹣1或x>6} B.{x|﹣1<x<6} C.{x|x<﹣2或x>3} D.{x|﹣2<x<3}
5.(2022秋 定远县校级月考)若0<a<1,则不等式(x﹣a)(x)>0的解集是( )
A.{x|a<x} B.{x|x<a} C.{x|x<a或x} D.{x|x或x>a}
6.(2021秋 隆回县期末)不等式x2+x﹣6<0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞) B.(﹣3,2)
C.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞) D.(﹣2,3)
7.(2021秋 伊州区校级期末)不等式ax2+ax﹣4<0的解集为R,则a的取值范围是( )
A.﹣16≤a<0 B.a>﹣16 C.﹣16<a≤0 D.a<0
8.(2022秋 南阳月考)不等式x(2x+7)≥﹣3的解集为( )
A. B.
C. D.
9.(2022秋 宁陵县校级月考)不等式ax2﹣x+c>0的解集为{x|﹣2<x<1},则函数y=ax2+x+c的图象大致为( )
A. B.
C. D.
10.(2022秋 凉州区校级月考)若函数f(x)=ax2+2x﹣1在区间(﹣∞,6)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[,0] B.(,0) C.(,+∞) D.(,1)
11.(2021秋 城关区校级期末)若函数y=x2+(2a﹣1)x+1的单调递减区间是(﹣∞,2],则实数a的取值范围是( )
A. B. C.(3,+∞) D.(﹣∞,3]
12.(2021秋 宜春期末)二次函数y=x +4x﹣1的单调增区间是( )
A.(0,+∞) B.[﹣4,+∞) C.[2,+∞) D.[﹣2,+∞)
13.(2022秋 朝阳区校级月考)已知不等式ax2+bx﹣a3<0的解集是{x|x>4或x<﹣1},则a+b的值为( )
A.4 B.﹣4 C.4或﹣4 D.﹣8
14.(2022春 未央区校级期中)若不等式ax2+bx+1≥0的解集为[﹣1,2],则a﹣b=( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
15.(2021秋 巢湖市期末)已知x∈R,则“x≤﹣3”是“(x+2)(x﹣3)≥0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16.(2021秋 丽江期末)“x>6”是“x2﹣5x+6>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
17.(2021秋 湛江期末)已知不等式ax2﹣5x+b>0的解集为{x|﹣3<x<2},则不等式bx2﹣5x+a<0的解集是( )
A. B.
C.{x|x或x} D.{x|x或x}
18.(2021秋 越秀区期末)关于x的不等式(ax﹣b)(x+3)<0的解集为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)
19.(2021秋 石鼓区校级月考)不等式2x2﹣x﹣1<0的解集是( )
A. B.
C.{x|x或x<﹣1} D.{x|x>1或x}
20.(2021秋 永昌县校级期末)不等式(x﹣1)2<x+5的解集为( )
A.{x|1<x<4} B.{x|﹣1<x<4} C.{x|﹣4<x<1} D.{x|﹣1<x<3}
21.(2021秋 蚌埠期末)若函数f(x)=﹣x2+2x在定义域[0,m]上的值域为[0,1],则( )
A.1≤m≤2 B.m>1 C.m=2 D.1<m≤2
22.(2021秋 海淀区期末)已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c为实数),f(﹣10)=f(12).若方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,则的最小值是( )
A.4 B.2 C.1 D.
23.(2021秋 黄梅县校级期末)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣1<x<6},则不等式cx2+bx+a<0的解集为( )
A. B.
C.{x|x或x<﹣1} D.{x|x>3或x<﹣2}
24.(2022秋 沈北新区校级月考)若两个正实数x,y满足,且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣1,4) B.(﹣4,1)
C.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,+∞)
25.(2022秋 椒江区校级月考)函数y=ax2+4(a+1)x﹣3满足条件:当x≥2,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a>0 C.且a≠0 D.
26.(2022春 咸阳期末)若函数f(x)=x2﹣mx+10在(﹣2,﹣1)上是减函数,则实数m的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[﹣2.+∞) C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,﹣2]
27.(2021秋 运城期末)已知二次函数f(x)=ax2﹣x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为( )
A.16 B.12 C.10 D.8
28.(2021秋 巫山县校级期末)若不等式2kx20对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.﹣3<k<0 B.﹣3≤k<0 C.﹣3≤k≤0 D.﹣3<k≤0
29.(2021秋 贺州期末)已知不等式ax2+bx+c>0解集为,下列结论正确的是( )
A.a+b+c>0 B.a>0 C.b<0 D.c<0
30.(2021秋 湖南期末)已知a>0,且关于x的不等式x2﹣2x+a<0的解集为(m,n),则的最小值为( )
A. B.4 C. D.2
31.(2021秋 盘龙区月考)关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2﹣x1=15,则a=( )
A. B. C. D.
32.(2022秋 江西月考)若不等式ax2+2x+c<0的解集是()∪(),则不等式cx2﹣2x+a≤0的解集是( )
A.[] B.[] C.[﹣2,3] D.[﹣3,2]
33.(2021秋 南阳期末)不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4≥0的解集为 ,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞) B.(﹣2,2)
C.(﹣2,2] D.(﹣∞,2)
34.(2021秋 罗庄区校级月考)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<5},则不等式cx2+bx+a>0的解集为( )
A.{x|x} B.{x|x} C.{x|﹣5<x<﹣2} D.{x|x}
35.(2021秋 武安市校级期末)设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},则ab的值为( )
A.1 B. C.4 D.
36.(2022秋 南阳月考)下列二次函数的图象通过平移能与二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象重合的是( )
A.y=2x2﹣x+1 B.y=x2+2x+1
C. D.
37.(2021秋 洛阳期中)已知关于x的不等式﹣x2+3ax﹣2a2≥0(a>0)的解集为[m,n],则m+n的最小值是( )
A.4 B.2 C.2 D.2
38.(2022秋 湖北月考)设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1,命题“ x∈[1,3],f(x)≤﹣m+2”是假命题,则实数m的取值范围为( )
A. B.(﹣∞,3] C. D.(3,+∞)
39.(2021秋 南京期末)已知b,c∈R,关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(﹣2,1),则关于x的不等式cx2+bx+1>0的解集为( )
A.(,1) B.(﹣1,)
C.(﹣∞,)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)
40.(2021秋 许昌期末)已知{x|a<x<b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1<0的解集,则4a+3b的最小值为( )
A. B. C. D.
41.(2021秋 信阳月考)已知函数f(x)=4ax2+4x﹣1, x∈(﹣1,1),f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.a<﹣1 C. D.a≤﹣1
二.填空题(共9小题)
42.(2021秋 惠阳区校级期末)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|﹣1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为 .
43.(2021秋 浦东新区校级期末)已知函数y=f(x)为f(x)=ax2+2x+b,其中a>b,若f(x)≥0对任意x∈R的恒成立,且函数存在零点,则的最小值为 .
44.(2021秋 红桥区期末)若函数f(x)=x2﹣ax﹣b的两个零点是2和3,则不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集为 .
45.(2021秋 闵行区期末)已知b,c∈R,关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(﹣2,3),则bc= .
46.(2021秋 徐汇区期末)已知关于x的不等式ax2﹣3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},则b的值为 .
47.(2021秋 普陀区校级期末)已知a为常数,若关于x的不等式2x2﹣6x+a<0的解集为(m,2),则m= .
48.(2021秋 阳春市校级月考)若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集是{x|﹣3<x<2},则m+n= .
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式:
一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是或。其中均为常数,。
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系:
有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
或
一.选择题(共41小题)
1.(2021秋 巫山县期末)若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0,m],值域为[,﹣4],则m的取值范围是( )
A.(0,4] B. C. D.
【解答】解:∵f(x)=x2﹣3x﹣4=(x)2,
∴f(),又f(0)=﹣4,
故由二次函数图象可知:
m的值最小为;
最大为3.
m的取值范围是:[,3],
故选:C.
2.(2021秋 青山区期末)已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤﹣3或a≥﹣2 D.﹣3≤a≤﹣2
【解答】解:由于二次函数y=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a,
若y=x2﹣2ax+1在区间(2,3)内是单调增函数,则有a≤2.
若y=x2﹣2ax+1在区间(2,3)内是单调减函数,则有a≥3.
故选:A.
3.(2022秋 南阳月考)不等式﹣x2+3x+18<0的解集为( )
A.{x|x>6或x<﹣3} B.{x|﹣3<x<6} C.{x|x>3或x<﹣6} D.{x|﹣6<x<3}
【解答】解:不等式﹣x2+3x+18<0整理可得:x2﹣3x﹣18>0,解得x>6或x<﹣3,
所以不等式的解集为:{x|x>6或x<﹣3},
故选:A.
4.(2021秋 南宁期末)关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6<0的解集为( )
A.{x|x<﹣1或x>6} B.{x|﹣1<x<6} C.{x|x<﹣2或x>3} D.{x|﹣2<x<3}
【解答】解:不等式x2﹣5x﹣6<0可化为(x+1)(x﹣6)<0,解得﹣1<x<6,
所以不等式的解集为{x|﹣1<x<6}.
故选:B.
5.(2022秋 定远县校级月考)若0<a<1,则不等式(x﹣a)(x)>0的解集是( )
A.{x|a<x} B.{x|x<a} C.{x|x<a或x} D.{x|x或x>a}
【解答】解:∵0<a<1,
∴a,
而是开口向上的二次函数,大于零的解集在两根之外
∴的解集为{x|}
故选:C.
6.(2021秋 隆回县期末)不等式x2+x﹣6<0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣3)∪(2,+∞) B.(﹣3,2)
C.(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞) D.(﹣2,3)
【解答】解:不等式x2+x﹣6<0可化为(x﹣2)(x+3)<0,解得﹣3<x<2,
所以不等式的解集是(﹣3,2).
故选:B.
7.(2021秋 伊州区校级期末)不等式ax2+ax﹣4<0的解集为R,则a的取值范围是( )
A.﹣16≤a<0 B.a>﹣16 C.﹣16<a≤0 D.a<0
【解答】解:当a=0 时,不等式即﹣4<0,恒成立.当a≠0时,由题意可得Δ=a2+16a<0,且a<0,
解得﹣16<a<0.实数a的取值范围是﹣16<a≤0,故选:C.
8.(2022秋 南阳月考)不等式x(2x+7)≥﹣3的解集为( )
A. B.
C. D.
【解答】不等式x(2x+7)≥﹣3整理可得:2x2+7x+3≥0,即(2x+1)(x+3)≥0,得x或x≤﹣3,
所以不等式的解集为{x|x或x≤﹣3},故选:A.
9.(2022秋 宁陵县校级月考)不等式ax2﹣x+c>0的解集为{x|﹣2<x<1},则函数y=ax2+x+c的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【解答】∵不等式ax2﹣x+c>0的解集为{x|﹣2<x<1},∴a<0,故 x2x0 解集为{x|﹣2<x<1}.
∴﹣2和1是方程x2x0的两个根,故﹣2+1,﹣2×1,解得 a=﹣1,c=2.
故函数y=ax2+x+c=﹣x2+x+2=﹣(x+1)(x﹣2),其图象为C,故选:C.
10.(2022秋 凉州区校级月考)若函数f(x)=ax2+2x﹣1在区间(﹣∞,6)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[,0] B.(,0) C.(,+∞) D.(,1)
【解答】当a=0时,函数f(x)=2x﹣1在R上单调递增,即f(x)在(﹣∞,6)上单调递增,
当a≠0时,函数f(x)是二次函数,f(x)在区间(﹣∞,6)上单调递增,
则,解得,
故实数a的取值范围为[,0].
故选:A.
11.(2021秋 城关区校级期末)若函数y=x2+(2a﹣1)x+1的单调递减区间是(﹣∞,2],则实数a的取值范围是( )
A. B. C.(3,+∞) D.(﹣∞,3]
【解答】解:∵y=x2+(2a﹣1)x+1的单调递减区间是(﹣∞,2],
∴2,∴a,∴实数a的取值范围是{}.
故选:A.
12.(2021秋 宜春期末)二次函数y=x +4x﹣1的单调增区间是( )
A.(0,+∞) B.[﹣4,+∞) C.[2,+∞) D.[﹣2,+∞)
【解答】解:函数y=x2+4x﹣1=(x+2) ﹣5为开口向上的抛物线,对称轴为x=﹣2,
∴y=x2+4x﹣1的单调递增区间为[﹣2,+∞),
故选:D.
13.(2022秋 朝阳区校级月考)已知不等式ax2+bx﹣a3<0的解集是{x|x>4或x<﹣1},则a+b的值为( )
A.4 B.﹣4 C.4或﹣4 D.﹣8
【解答】解:因为不等式ax2+bx﹣a3<0的解集是{x|x>4或x<﹣1},
所以4和﹣1是对应方程ax2+bx﹣a3=0的解,且a<0;
由根与系数的关系知,,解得a=﹣2,b=6,所以a+b=4.
故选:A.
14.(2022春 未央区校级期中)若不等式ax2+bx+1≥0的解集为[﹣1,2],则a﹣b=( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【解答】解:因为不等式ax2+bx+1≥0的解集为[﹣1,2],所以方程ax2+bx+1=0的解为﹣1和2,
所以,a,b,所以a﹣b1.
故选:B.
15.(2021秋 巢湖市期末)已知x∈R,则“x≤﹣3”是“(x+2)(x﹣3)≥0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:因为x≤﹣3时,不等式(x+2)(x﹣3)≥0成立,即充分性成立;
解不等式(x+2)(x﹣3)≥0得,x≤﹣2或x≥3,
所以(x+2)(x﹣3)≥0时,x≤﹣3不一定成立,即必要性不成立;所以是充分不必要条件.
故选:A.
16.(2021秋 丽江期末)“x>6”是“x2﹣5x+6>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:由x2﹣5x+6>0,得(x﹣2)(x﹣3)>0,解得x<2或x>3,
令A=(6,+∞),B=(﹣∞,2)∪(3,+∞),则A是B的真子集,
所以“x>6”是“x2﹣5x+6>0”的充分不必要条件.
故选:A.
17.(2021秋 湛江期末)已知不等式ax2﹣5x+b>0的解集为{x|﹣3<x<2},则不等式bx2﹣5x+a<0的解集是( )
A. B.
C.{x|x或x} D.{x|x或x}
【解答】解:由题意可知,﹣3和2是方程ax2﹣5x+b=0的两根,且a<0,
∴﹣3+2,(﹣3)×2,∴a=﹣5,b=30,
∴不等式bx2﹣5x+a<0为30x2﹣5x﹣5<0,
即5(3x+1)(2x﹣1)<0,解得x.
故选:A.
18.(2021秋 越秀区期末)关于x的不等式(ax﹣b)(x+3)<0的解集为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax+b>0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)
【解答】解:由题意可得a<0,且1,﹣3是方程(ax﹣b)(x+3)=0的两根,
∴x=1为方程ax﹣b=0的根,∴a=b,
则不等式ax+b>0可化为x+1<0,即x<﹣1,∴不等式ax+b>0的解集为(﹣∞,﹣1).
故选:A.
19.(2021秋 石鼓区校级月考)不等式2x2﹣x﹣1<0的解集是( )
A. B.
C.{x|x或x<﹣1} D.{x|x>1或x}
【解答】解:不等式2x2﹣x﹣1<0可化为(2x+1)(x﹣1)<0,解得x<1,
所以不等式的解集是{x|x<1}.
故选:B.
20.(2021秋 永昌县校级期末)不等式(x﹣1)2<x+5的解集为( )
A.{x|1<x<4} B.{x|﹣1<x<4} C.{x|﹣4<x<1} D.{x|﹣1<x<3}
【解答】解:不等式(x﹣1)2<x+5可化为x2﹣3x﹣4<0,
即(x﹣4)(x+1)<0,解得﹣1<x<4,所以不等式的解集为{x|﹣1<x<4}.
故选:B.
21.(2021秋 蚌埠期末)若函数f(x)=﹣x2+2x在定义域[0,m]上的值域为[0,1],则( )
A.1≤m≤2 B.m>1 C.m=2 D.1<m≤2
【解答】解:根据题意,f(x)=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,
所以f(x)的对称轴为x=1,在[0,1]单调递增,在[1,+∞)单调递减,
且f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,因为f(x)在[0,m]的值域为[0,1],所以1≤m≤2.
故选:A.
22.(2021秋 海淀区期末)已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c为实数),f(﹣10)=f(12).若方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,则的最小值是( )
A.4 B.2 C.1 D.
【解答】解:函数f(x)=2x2+bx+c为二次函数,若f(﹣10)=f(12),则f(x)的对称轴为x=1,
若方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,则有x1+x2=2,
则()(x1+x2)(2)(2+2)=2,
当且仅当x1=x2=1时等号成立,即的最小值是2,
故选:B.
23.(2021秋 黄梅县校级期末)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣1<x<6},则不等式cx2+bx+a<0的解集为( )
A. B.
C.{x|x或x<﹣1} D.{x|x>3或x<﹣2}
【解答】解:根据题意,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣1<x<6},即方程ax2+bx+c=0的两根为﹣1和6,
则有且a<0,变形可得,
不等式cx2+bx+a<0即﹣6ax2﹣5ax+a<0,即6x2+5x﹣1<0,
解可得:﹣1<x,即不等式的解集为(﹣1,),
故选:B.
24.(2022秋 沈北新区校级月考)若两个正实数x,y满足,且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣1,4) B.(﹣4,1)
C.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,+∞)
【解答】解:∵正实数x,y满足,
∴x(x)()=24
当且仅当且,即x=2,y=8时取等号,
∵存在x,y使不等式有解,∴4<m2+3m,解可得m>1或m<﹣4,
故选:C.
25.(2022秋 椒江区校级月考)函数y=ax2+4(a+1)x﹣3满足条件:当x≥2,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a>0 C.且a≠0 D.
【解答】解:当a=0时,y=4x﹣3满足x≥2,y随x的增大而增大,
当a≠0时,根据二次函数的性质可知,,解得a>0,综上,a≥0.
故选:A.
26.(2022春 咸阳期末)若函数f(x)=x2﹣mx+10在(﹣2,﹣1)上是减函数,则实数m的取值范围是( )
A.[2,+∞) B.[﹣2.+∞) C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,﹣2]
【解答】解:由题意可知f(x)=x2﹣mx+10的对称轴为:x,
故f(x)的单调递减区间为(﹣∞,],又函数f(x)在(﹣2,﹣1)上是减函数,
所有﹣1,得m≥﹣2,
故选:B.
27.(2021秋 运城期末)已知二次函数f(x)=ax2﹣x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为( )
A.16 B.12 C.10 D.8
【解答】解:由题意知a>0,Δ=1﹣4ac=0,,c>0,
∴,当且仅当,即a=1,时取等号.
故选:D.
28.(2021秋 巫山县校级期末)若不等式2kx20对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.﹣3<k<0 B.﹣3≤k<0 C.﹣3≤k≤0 D.﹣3<k≤0
【解答】解:2kx20对一切实数x都成立,
①k=0时,恒成立,
②k≠0时,,
解可得,﹣3<k<0
综上可得,﹣3<k≤0
故选:D.
29.(2021秋 贺州期末)已知不等式ax2+bx+c>0解集为,下列结论正确的是( )
A.a+b+c>0 B.a>0 C.b<0 D.c<0
【解答】解:由于不等式ax2+bx+c>0解集为,
所以a<0;
故和2为ax2+bx+c=0的两根;
所以,整理得:3a+2b=0,故;
由于a<0,所以b>0;
故a+c=0,整理得c=﹣a,所以c>0;故B、C、D错误.
所以当x=1时,a+b+c>0,故A正确;
故选:A.
30.(2021秋 湖南期末)已知a>0,且关于x的不等式x2﹣2x+a<0的解集为(m,n),则的最小值为( )
A. B.4 C. D.2
【解答】解:因为m,n是方程x2﹣2x+a=0的两根,所以m+n=2,mn=a>0,
所以m>0,n>0,且,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为.
故选:A.
31.(2021秋 盘龙区月考)关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2﹣x1=15,则a=( )
A. B. C. D.
【解答】解:因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),
所以x1+x2=2a…①,
x1 x2=﹣8a2…②,
又x2﹣x1=15…③,
①2﹣4×②可得(x2﹣x1)2=36a2,代入③可得,152=36a2,解得a,
因为a>0,所以a.
故选:A.
32.(2022秋 江西月考)若不等式ax2+2x+c<0的解集是()∪(),则不等式cx2﹣2x+a≤0的解集是( )
A.[] B.[] C.[﹣2,3] D.[﹣3,2]
【解答】解:不等式ax2+2x+c<0的解集是()∪(),
∴和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,由,
解得:a=﹣12,c=2,
故不等式cx2﹣2x+a≤0即2x2﹣2x﹣12≤0,即x2﹣x﹣6≤0,解得:﹣2≤x≤3,
所以所求不等式的解集是:[﹣2,3],
故选:C.
33.(2021秋 南阳期末)不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4≥0的解集为 ,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞) B.(﹣2,2)
C.(﹣2,2] D.(﹣∞,2)
【解答】解:关于x的不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4≥0的解集为 ,
即 (a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0恒成立.
当a﹣2=0时,即a=2时,不等式即﹣4<0,显然满足条件.
当a﹣2≠0时,应满足,解得﹣2<a<2.
综上知,实数a的取值范围是(﹣2,2].
故选:C.
34.(2021秋 罗庄区校级月考)一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<5},则不等式cx2+bx+a>0的解集为( )
A.{x|x} B.{x|x} C.{x|﹣5<x<﹣2} D.{x|x}
【解答】解:一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<5},
所以a<0,且2,5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,
所以2+5=7,2×5=10,
所以b=﹣7a,c=10a,且a<0;
所以不等式cx2+bx+a>0化为10ax2﹣7ax+a>0,
即10x2﹣7x+1<0,解得x.
因此不等式的解集为{x|x}.
故选:B.
35.(2021秋 武安市校级期末)设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},则ab的值为( )
A.1 B. C.4 D.
【解答】解:∵一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|﹣1<x<2},
∴方程ax2+bx+1=0的解为﹣1,2
∴﹣1+2,(﹣1)×2
∴a,b,
∴ab.
故选:B.
36.(2022秋 南阳月考)下列二次函数的图象通过平移能与二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象重合的是( )
A.y=2x2﹣x+1 B.y=x2+2x+1
C. D.
【解答】解:根据题意,经过平移后能得到二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象重合,
则a=1,
观察选项,只有选项B符合题意,
故选:B.
37.(2021秋 洛阳期中)已知关于x的不等式﹣x2+3ax﹣2a2≥0(a>0)的解集为[m,n],则m+n的最小值是( )
A.4 B.2 C.2 D.2
【解答】解:不等式﹣x2+3ax﹣2a2≥0(a>0),解得a≤x≤2a,
又不等式﹣x2+3ax﹣2a2≥0(a>0)的解集为[m,n],
所以m=a,n=2a,
则m+n,
当且仅当时取等号,
所以m+n的最小值是.
故选:D.
38.(2022秋 湖北月考)设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1,命题“ x∈[1,3],f(x)≤﹣m+2”是假命题,则实数m的取值范围为( )
A. B.(﹣∞,3] C. D.(3,+∞)
【解答】解:因为命题“ x∈[1,3],f(x)≤﹣m+2”是假命题,
所以 x∈[1,3],f(x)=mx2﹣mx﹣1>﹣m+2,整理得m在[1,3]上恒成立,
根据二次函数的性质可知,当x=1时,x2﹣x+1有最小值1,
故的最大值为3,所以m>3.
故选:D.
39.(2021秋 南京期末)已知b,c∈R,关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(﹣2,1),则关于x的不等式cx2+bx+1>0的解集为( )
A.(,1) B.(﹣1,)
C.(﹣∞,)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(,+∞)
【解答】解:因为关于x的不等式 x2+bx+c<0的解集为(﹣2,1),
所以,即,
则cx2+bx+1>0 化为﹣2x2+x+1>0,
即 (2x+1)(x﹣1)<0,
解得x<1
故选:A.
40.(2021秋 许昌期末)已知{x|a<x<b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1<0的解集,则4a+3b的最小值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:因为{x|a<x<b}是不等式nx2﹣2x+1<0的解集,
所以a,b是方程nx2﹣2x+1=0的两个实数根且n>0,所以a+b,ab,
所以2,且a>0,b>0;所以4a+3b (4a+3b) ()
(7)(7+2)(7+4)2,
当且仅当b=2a时“=”成立;所以4a+3b的最小值为2.
故选:C.
41.(2021秋 信阳月考)已知函数f(x)=4ax2+4x﹣1, x∈(﹣1,1),f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.a<﹣1 C. D.a≤﹣1
【解答】解:当a=0时,f(x)=4x﹣1<0,解得,故当x时,f(x)>0,故不符合题意;
当a>0时,则有,无解;
当a<0时,则有①,或②,或Δ=16+16a<0③,
解得①无解,②无解,③a<﹣1,故a<﹣1,
综上所述,实数a的取值范围是a<﹣1.
故选:B.
二.填空题(共9小题)
42.(2021秋 惠阳区校级期末)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|﹣1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为 {x|} .
【解答】解:∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|﹣1<x<2},
∴﹣1,2是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根,且a<0,
∴,a<0,解得a=﹣1,b=1.
则不等式2x2+bx+a<0化为2x2+x﹣1<0,解得.
∴不等式2x2+bx+a<0的解集为{x|}.
43.(2021秋 浦东新区校级期末)已知函数y=f(x)为f(x)=ax2+2x+b,其中a>b,若f(x)≥0对任意x∈R的恒成立,且函数存在零点,则的最小值为 2 .
【解答】解:根据题意,函数f(x)=ax2+2x+b满足f(x)≥0对任意x∈R的恒成立,且函数存在零点,
必有Δ=4﹣4ab=0,则有ab=1,
则(a﹣b),
又由a>b,则(a﹣b)22,当且仅当a﹣b时等号成立,
即的最小值为2;
故答案为:2.
44.(2021秋 红桥区期末)若函数f(x)=x2﹣ax﹣b的两个零点是2和3,则不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集为 (,) .
【解答】解:函数f(x)=x2﹣ax﹣b的两个零点是2和3,所以2和3是方程x2﹣ax﹣b=的两个解,
所以,解得a=5,b=﹣6,
所以不等式bx2﹣ax﹣1>0可化为﹣6x2﹣5x﹣1>0,即6x2+5x+1<0,解得x,
所以不等式bx2﹣ax﹣1>0的解集为(,).
故答案为:(,).
45.(2021秋 闵行区期末)已知b,c∈R,关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(﹣2,3),则bc= 6 .
【解答】解:∵b,c∈R,关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(﹣2,3),
∴﹣2,3是一元二次方程x2+bx+c=0的两个解,
∴,解得b=﹣1,c=﹣6,
∴bc=6.
故答案为:6.
46.(2021秋 徐汇区期末)已知关于x的不等式ax2﹣3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},则b的值为 2 .
【解答】解:因为不等式ax2﹣3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},
所以1和b是方程ax2﹣3x+2=0的实数解,且b>1,
由根与系数的关系,知,解得a=1,b=2.
故答案为:2.
47.(2021秋 普陀区校级期末)已知a为常数,若关于x的不等式2x2﹣6x+a<0的解集为(m,2),则m= 1 .
【解答】解:因为不等式2x2﹣6x+a<0的解集为(m,2),
所以m和2是方程2x2﹣6x+a=0的解,
由根与系数的关系知,
解得m=1,a=4.
故答案为:1.
48.(2021秋 阳春市校级月考)若关于x的不等式x2+mx+n<0的解集是{x|﹣3<x<2},则m+n= ﹣5 .
【解答】解:关于x的不等式x2+mx+n<0的解集是{x|﹣3<x<2},
所以﹣3和2是方程x2+mx+n=0的实数根,
由根与系数的关系知,,
解得m=1,n=﹣6,
所以m+n=﹣5.
故答案为:﹣5.
49.(2021秋 黄浦区校级期末)若关于x的不等式x2+(k﹣1)x+4>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是 (﹣3,5) .
【解答】解:∵x2+(k﹣1)x+4>0对一切实数x恒成立,
∴Δ=(k﹣1)2﹣16<0,
解得:k∈(﹣3,5),
故答案为:(﹣3,5).
50.(2021秋 红岗区校级期末)函数f(x)=﹣x2+2x+2,x∈[﹣1,2]的值域是 [﹣1,3] .
【解答】解:∵函数f(x)=﹣x2+2x+2=﹣(x﹣1)2+3,
∴函数f(x)在区间[﹣1,1]上单调递增,在区间[﹣1,1]上单调递减,
∴最大值为f(1)=3;
最小值为f(﹣1)与f(2)中的较小的一个,
∵f(﹣1)=﹣1,f(2)=0,∴最大小值为﹣1.
因此,函数f(x)=﹣x2+2x+2,x∈[﹣1,2]的值域为[﹣1,3].
故答案为:[﹣1,3].