2.1 等式性质与不等式性质讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

2.1 等式性质与不等式性质
关于实数大小的比较，有以下基本事实：
如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么。反过来也对。
这个基本事实可以表示为：；；；
实数的运算性质与大小顺序之间的关系：
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小，对任意两个实数：
；； 。
重要不等式：
又当且仅当时，∴当且仅当时，
重要不等式的变形：
①（或）；
②，即（或或）
③，即（或）
不等式：
用不等号（）表示不等关系的式子。
等式的基本性质：
性质1：如果，那么；
性质2：如果，，那么
性质3：如果，那么；
性质4：如果，那么；
性质5：如果，，那么。
不等式的性质：
性质1：如果，那么；如果，那么。即
性质2：如果，，那么。即，
性质3：如果，那么；如果，那么。
性质4：如果，，那么；如果，那么。
性质5：如果，，那么。
性质6：如果，，那么。
性质7：如果，那么。
性质8：如果，那么。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
① 两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：
② 两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：
③ 两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④ 任何实数的平方为非负数，的平方为
符号语言：。
作差法：
任意两个代数式，可以作差后比较与的关系，进一步比较与的大小.
；； 。
作商法：
任意两个值为正的代数式，可以作商后比较与的关系，进一步比较与的大小.
中间量法：
若两个代数式不容易直接判断大小，可引入第三个量分别与作比较，若满足且，则。 第三个量就是中间量。这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性。一般选择或为中间量。
一．等式与不等式的性质（共20小题）
1．（2022春 朝阳区校级期末）设a＜b＜0，给出下列四个结论：①a+b＜ab；②2a＜3b；③a2＜b2；④a|a|＜b|b|．其中正确的结论的序号为（　　）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
2．（2021秋 天河区校级期中）已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是（　　）
A．a＞b ac2≥bc2 B．，c＜0 a＜b
C．a3＞b3，ab＞0 D．a2＞b2，ab＞0
3．（2021秋 镇海区校级月考）若0≤a≤4，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围为（　　）
A．﹣3≤a﹣b≤2 B．﹣3≤a﹣b≤6 C．﹣2≤a﹣b≤7 D．﹣2≤a﹣b≤﹣1
4．（2022春 郑州期末）若a＞b＞0，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B． C．a2＞b2 D．a+c＞b+c
5．（2021秋 潮州期末）已知a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．2a＞2b
6．（2021秋 珠海期末）对于任意实数a，b，c，d，给定下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＜b，则
7．（2021秋 西城区期末）若a＞b，c＞d＞0，则一定有（　　）
A．ac＞bd B．ac＜bd
C． D．以上答案都不对
8．（2021秋 滨海新区期中）设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（　　）
A．a2＞b2 B．
C． D．ab＞b2
9．（2021秋 河南期中）若a＜b＜﹣1，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．（a﹣1）2＞（b﹣1）2
10．（2021秋 新乡期中）若﹣1＜a﹣b＜1，0＜a+2b＜2，则2a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，2）
11．（2021秋 连江县期中）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．c2＞cd B．a+d＜b+c C．ad＜bc D．
12．（2021秋 普宁市校级期中）若0≤a≤4，﹣2≤b≤3，则a+b的取值范围为（　　）
A．﹣2≤a+b≤6 B．﹣3≤a+b≤6 C．﹣1≤a+b≤7 D．﹣2≤a+b≤7
13．（2021秋 广东期中）若﹣1＜a＜1，0＜b＜2，则2a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，2）
14．（2022秋 坪山区校级月考）已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（　　）
A． B．ab＜b2 C． D．
15．（2022春 绵阳期末）下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则
C．若a＞b，则a+c＞b+c D．若a＞b，则a2＞b2
16．（2021秋 合肥期末）若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是（　　）
A．ac＞bc B．a﹣d＜b﹣c C． D．a3＞b3
17．（2021秋 渝中区校级期末）若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
18．（2021秋 柯坪县校级期中）设0＜a＜b＜1，则下列不等式中，成立的是（　　）
A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．a2＜b2
19．（2021秋 鼓楼区校级期中）已知a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2c＞b2c D．a+c＞b+c
20．（2021秋 迎江区校级期中）已知1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则3a﹣2b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．不等关系与不等式（共23小题）
21．（2021秋 阎良区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab＞a＞ab2 C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a
22．（2017春 南昌期末）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下面正确的为（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
23．（2016春 龙海市期末）已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（　　）
A．cb2＜ab2 B．c（b﹣a）＞0 C．ab＞ac D．ac（a﹣c）＜0
24．（2021秋 龙港区校级期中）已知a＞b＞0，下列正确的是（　　）
A．﹣a2＜﹣ab B．ab＜b2 C． D．
25．（2021秋 砚山县校级期中）若a，b，c∈R且a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+c＜b+c B．ac2＞bc2 C．ac＜bc D．
26．（2021秋 清城区校级期中）设a＞b，a，b，c∈R，则下列不等式正确的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．1 C．a+c＞b+c D．a2b＞ab2
27．（2021秋 麻阳县校级期中）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B． C．|a|＞|b| D．a2＞b2
28．（2021秋 赣榆区校级月考）已知0，给出下列四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b≤ab；④a3＞b3，其中不正确的不等式个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
29．（2021秋 西陵区校级期中）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．a2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D．
30．（2020秋 朝阳区校级月考）已知﹣b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．a2＞b2 C． D．|a|＞b
31．（2020秋 道里区校级期中）若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bd D．ad＞bc
32．（2021秋 天河区校级期中）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则2a﹣b的范围是 　 　．
33．已知1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，则z＝3a﹣b的取值范围是 　 　．
34．（2021秋 金水区校级月考）已知﹣1＜2s+t＜2，3＜s﹣t＜4，则5s+t的取值范围　 　（用区间表示）．
35．（2021秋 玉林期末）如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．a＞b C．a+c＞b+c D．
36．（2022秋 长沙月考）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A．a＞b B．ab
C．a D．
37．（2021秋 岳麓区校级月考）若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．a2＞b2
38．（2021秋 贵池区校级期中）若，则下列说法错误的是（　　）
A．|a|＞|b| B．01 C． D．
39．（2021秋 武汉期中）设a，b为实数，则“a﹣b＞0”是“a2﹣b2＞0”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
40．（2021秋 朝阳区校级月考）已知1≤a≤8，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围是（　　）
A．3≤a﹣b≤5 B．﹣2≤a﹣b≤10 C．﹣2≤a﹣b≤5 D．3≤a﹣b≤10
41．（2021秋 雨花区校级月考）若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　）
A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4
42．（2021秋 同安区校级期中）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么2a+3b的取值范围是　 　．
43．（2022秋 叶县校级月考）已知a﹣b＜0，2a﹣b＞0，则﹣3a+b（　　）
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法确定与0的大小
三．不等式比较大小（共16小题）
44．（2021秋 滦南县校级月考）设m＞1，P＝m，Q＝5，则P，Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q
45．（2021秋 宁乡市期末）设A，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝﹣x2+4x﹣2，则A与B的大小关系是（　　）
A．A≥B B．A＞B C．A＜B D．A≤B
46．（2020秋 杨浦区校级期末）若a＞b＞c，a+b+c＝0，则下列各式正确的是（　　）
A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞|b|c D．ab＞bc
47．（2021秋 龙江县校级月考）已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2+b2+c2+3，Q＝2（a+b+c），那么P与Q的大小关系是（　　）
A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q
48．（2022秋 椒江区校级月考）已知，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
49．（2021秋 伊州区校级期末）已知t＝2a+2b，s＝a +2b+1，则（　　）
A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s
50．（2021秋 肥城市期中）已知a≥0，设，，则（　　）
A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q
51．（2021秋 新乡期中）已知，，则（　　）
A．a＞b＞1 B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．b＞1＞a
52．（2021秋 丰城市校级期中）已知：x＞1，y∈R，则a＝2x+2y﹣3，b＝﹣x2+2y，c＝x2+y2的大小关系是（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
53．（2021秋 海淀区校级月考）设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
54．（2021秋 徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定
55．（2020秋 池州期末）已知P＝a2+4a+1，Q＝﹣b2+2b﹣4，则（　　）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
56．（2021秋 通州区校级月考）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为 　 　．
57．（2021秋 江阴市期末）设x＝2a（a+2）﹣2，y＝（a﹣1）（a+3），则有（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y
58．（2021秋 洪山区校级月考）设x，y，z，则x，y，z的大小关系是（　　）
A．x＞y＞z B．z＞x＞y C．y＞x＞z D．x＞z＞y
59．（2021秋 浙江期中）已知正实数x，y满足，则（　　）
A．x＞y B．x＜y
C．x＝y D．x，y大小不确定
2.1 等式性质与不等式性质
关于实数大小的比较，有以下基本事实：
如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么。反过来也对。
这个基本事实可以表示为：；；；
实数的运算性质与大小顺序之间的关系：
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小，对任意两个实数：
；； 。
重要不等式：
又当且仅当时，∴当且仅当时，
重要不等式的变形：
①（或）；
②，即（或或）
③，即（或）
不等式：
用不等号（）表示不等关系的式子。
等式的基本性质：
性质1：如果，那么；
性质2：如果，，那么
性质3：如果，那么；
性质4：如果，那么；
性质5：如果，，那么。
不等式的性质：
性质1：如果，那么；如果，那么。即
性质2：如果，，那么。即，
性质3：如果，那么；如果，那么。
性质4：如果，，那么；如果，那么。
性质5：如果，，那么。
性质6：如果，，那么。
性质7：如果，那么。
性质8：如果，那么。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
① 两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：
② 两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：
③ 两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④ 任何实数的平方为非负数，的平方为
符号语言：。
作差法：
任意两个代数式，可以作差后比较与的关系，进一步比较与的大小.
；； 。
作商法：
任意两个值为正的代数式，可以作商后比较与的关系，进一步比较与的大小.
中间量法：
若两个代数式不容易直接判断大小，可引入第三个量分别与作比较，若满足且，则。 第三个量就是中间量。这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性。一般选择或为中间量。
一．等式与不等式的性质（共20小题）
1．（2022春 朝阳区校级期末）设a＜b＜0，给出下列四个结论：①a+b＜ab；②2a＜3b；③a2＜b2；④a|a|＜b|b|．其中正确的结论的序号为（　　）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
【解答】解：∵a＜b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，故①正确；
不妨取a＝﹣3，b＝﹣2，满足a＜b＜0，但2a＝3b，故②错误；
由a＜b＜0，可得|a|＞|b|，∴a2＞b2，故③错误；
由a＜b＜0，可知﹣a＞﹣b＞0，而|a|＞|b|＞0，
故﹣a|a|＞﹣b|b|＞0，即a|a|＜b|b|，故④正确，
故选：B．
2．（2021秋 天河区校级期中）已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是（　　）
A．a＞b ac2≥bc2 B．，c＜0 a＜b
C．a3＞b3，ab＞0 D．a2＞b2，ab＞0
【解答】解：对于A，∵a＞b，c2≥0，
∴ac2≥bc2，故A正确，
对于B，∵，c＜0，
∴a﹣b＜0，即a＜b，故B正确，
对于C，∵f（x）＝x3在R上单调递增，a3＞b3，
∴a＞b，
又∵ab＞0，
∴0，即，故C正确，
对于D，令a＝﹣2，b＝﹣1，满足a2＞b2，ab＞0，但，故D错误．
故选：D．
3．（2021秋 镇海区校级月考）若0≤a≤4，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围为（　　）
A．﹣3≤a﹣b≤2 B．﹣3≤a﹣b≤6 C．﹣2≤a﹣b≤7 D．﹣2≤a﹣b≤﹣1
【解答】解：因为0≤a≤4，﹣2≤b≤3，
所以0≤a≤4，﹣3≤﹣b≤2，
所以﹣3≤a﹣b≤6．
故选：B．
4．（2022春 郑州期末）若a＞b＞0，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B． C．a2＞b2 D．a+c＞b+c
【解答】解：对于A，若c＝0，则ac2＞bc2不成立；
对于B，，所以，成立；
由不等式的可乘方性知选项C成立；
由不等式的可加性知选项D成立．
故选：A．
5．（2021秋 潮州期末）已知a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）
A． B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．2a＞2b
【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，满足a＞b，但，故A错误，
对于B，令a＝2，b＝﹣2，满足a＞b，但|a|＝|b|，故 B错误，
对于C，令a＝2，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＝b2，故C错误，
对于D，∵f（x）＝2x在R上单调递增，
又∵a＞b，
∴2a＞2b，故D正确．
故选：D．
6．（2021秋 珠海期末）对于任意实数a，b，c，d，给定下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＜b，则
【解答】解：对于A，当c＝0时，ac＝bc，故A错误，
对于B，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但a﹣c＝b﹣d，故B错误，
对于C，∵ac2＞bc2，c≠0，∴a＞b，故C正确，
对于D，令a＝﹣1，b＝1，满足a＜b，但，故D错误．
故选：C．
7．（2021秋 西城区期末）若a＞b，c＞d＞0，则一定有（　　）
A．ac＞bd B．ac＜bd
C． D．以上答案都不对
【解答】解：对于A，令a＝﹣2，b＝﹣3，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ac＜bd，故A错误，
对于B，令a＝3，b＝2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但ac＞bd，故B错误，
对于C，令a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但，故C错误．
故选：D．
8．（2021秋 滨海新区期中）设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（　　）
A．a2＞b2 B．
C． D．ab＞b2
【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但a2＝b2，故A错误，
对于B，令a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但，故B错误，
对于C，∵a，b是非零实数，a＞b，
∴0，即，故C正确，
对于D，令a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但ab＜b2，故D错误．
故选：C．
9．（2021秋 河南期中）若a＜b＜﹣1，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．（a﹣1）2＞（b﹣1）2
【解答】解：对于A，令a＝﹣3，b＝﹣2，满足a＜b＜﹣1，，故A错误，
对于B，令a＝﹣64，b＝﹣8，满足a＜b＜﹣1，，故B错误，
对于C，令a＝﹣3，b＝﹣2，满足a＜b＜﹣1，但，故C错误，
对于D，∵a＜b＜﹣1，
∴a﹣b＜0，a+b﹣2＜﹣2，
∴（a﹣1）2﹣（b﹣1）2＝a2﹣b2﹣2（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）﹣2（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣2）＞0，
∴（a﹣1）2＞（b﹣1）2，故D正确．
故选：D．
10．（2021秋 新乡期中）若﹣1＜a﹣b＜1，0＜a+2b＜2，则2a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，2）
【解答】解：设2a+b＝m（a﹣b）+n（a+2b）＝（m+n）a+（2n﹣m）b，
则，解得，
∵﹣1＜a﹣b＜1，0＜a+2b＜2，
∴由不等式的可加性可得，﹣1＜2a+b＜3，
故2a+b的取值范围为（﹣1，3）．
故选：A．
11．（2021秋 连江县期中）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．c2＞cd B．a+d＜b+c C．ad＜bc D．
【解答】解：对于A，∵d＜c＜0，
∴c2﹣cd＝c（c﹣d）＜0，即c2＜cd，故A错误，
对于B，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，
∵a＞b＞0＞c＞d，
∴a+d＝b+c，故B错误，
对于C，∵a＞b＞0＞c＞d，
∴ad＜0，bc＜0，且ad＜bc，故C正确，
对于D，∵a＞b＞0，
∴a2＞b2，
∴，故D错误．
故选：C．
12．（2021秋 普宁市校级期中）若0≤a≤4，﹣2≤b≤3，则a+b的取值范围为（　　）
A．﹣2≤a+b≤6 B．﹣3≤a+b≤6 C．﹣1≤a+b≤7 D．﹣2≤a+b≤7
【解答】解：由0≤a≤4①，﹣2≤b≤3②，
①+②得：﹣2≤a+b≤7，
故选：D．
13．（2021秋 广东期中）若﹣1＜a＜1，0＜b＜2，则2a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（0，2）
【解答】解：若﹣1＜a＜1，0＜b＜2，
则﹣2＜2a＜2，则﹣2＜2a+b＜4，
故选：A．
14．（2022秋 坪山区校级月考）已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（　　）
A． B．ab＜b2 C． D．
【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞0，a﹣b＞0，
对于A，，因为c的正负不确定，所以与的大小关系不确定，故A错误，
对于B，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，所以ab＞b2，故B错误，
对于C，0，所以，故C正确，
对于D，，因为a，b与1的大小关系不确定，所以（a﹣1）（b﹣1）的符号不确定，所以与的大小关系不确定，故D错误，
故选：C．
15．（2022春 绵阳期末）下列结论正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，则
C．若a＞b，则a+c＞b+c D．若a＞b，则a2＞b2
【解答】解：A，当a＝2，b＝1，c＝0时，满足a＞b，但ac＝bc，∴A错误，
B，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但，C，若a＞b，由不等式的性质，则a+c＞b+c，∴C正确，
D，当a＝2，b＝﹣3时，满足a＞b，但a2＜b2，∴D错误，故选：C．
16．（2021秋 合肥期末）若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是（　　）
A．ac＞bc B．a﹣d＜b﹣c C． D．a3＞b3
【解答】解：对于A，∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故A错误，
对于B，∵a＞b＞0，d＜c＜0，∴a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，故B错误，
对于C，∵d＜c＜0，∴c﹣d＞0，cd＞0，∴0，即，故C错误，
对于D，∵f（x）＝x3 在R上单调递增，a＞b，∴f（a）＞f（b），a3＞b3，故D正确．故选：D．
17．（2021秋 渝中区校级期末）若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：对于A，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，但，故A错误，
对于B，令a＝2，b＝1，满足a＞b＞0，但，故B错误，
对于C，令a＝2，b，满足a＞b＞0，但，故C错误，
对于D，∵a＞b＞0，∴，故D正确．故选：D．
18．（2021秋 柯坪县校级期中）设0＜a＜b＜1，则下列不等式中，成立的是（　　）
A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．a2＜b2
【解答】解：A，当a，b时，满足0＜a＜b＜1，但a3＜b3，∴A错误，
B，∵0＜a＜b＜1，∴0，∴，∴B错误，
C，∵0＜a＜b＜1，∴ab＜a0＝1，∴C错误，
D，∵y＝x2在（0，+∞）上增函数，0＜a＜b＜1，∴a2＜b2，∴D正确，
故选：D．
19．（2021秋 鼓楼区校级期中）已知a＞b＞0＞c，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a﹣b＞b﹣c B． C．a2c＞b2c D．a+c＞b+c
【解答】解：对于A：∵a＞b＞0＞c，令a＝2，b＝1，c＝﹣2，显然A错误；
对于B：∵a＞b＞0，c＜0，，∴．所以B不正确；
对于C：∵a＞b＞0，c＜0，∴a2c＜b2c，故C错误；
对于D：a＞b＞0＞c，a+c＞b+c，显然D正确；
故选：D．
20．（2021秋 迎江区校级期中）已知1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则3a﹣2b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设3a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b）＝（m+n）a+（m﹣n）b，
∴，解得m，n，
∵2≤a+b≤4，1≤a﹣b≤2，
∴1（a+b）≤2，（a﹣b）≤5，∴3a﹣2b≤7，
故选：D．
二．不等关系与不等式（共23小题）
21．（2021秋 阎良区期末）若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列各式中正确的是（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab＞a＞ab2 C．ab2＞ab＞a D．ab＞ab2＞a
【解答】解∵a＜0，﹣1＜b＜0，
∴ab＞0，ab2＜0，
又﹣1＜b＜0，∴0＜b2＜1，两边同乘以负数a，可知ab2＞a，
∴ab＞0＞ab2＞a．
故选：D．
22．（2017春 南昌期末）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下面正确的为（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，
∴ab＞0，1＞b2＞0，
∴0＞ab2＞a，
∴ab＞ab2＞a．
故选：D．
23．（2016春 龙海市期末）已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（　　）
A．cb2＜ab2 B．c（b﹣a）＞0 C．ab＞ac D．ac（a﹣c）＜0
【解答】解：若b＝0，则cb2＝ab2，因此对于A．cb2＜ab2不成立．
故选：A．
24．（2021秋 龙港区校级期中）已知a＞b＞0，下列正确的是（　　）
A．﹣a2＜﹣ab B．ab＜b2 C． D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（﹣a2）﹣（﹣ab）＝ab﹣a2＝a（b﹣a）＜0，必有﹣a2＜﹣ab，A正确；
对于B，ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，则有ab＞b2，B错误；
对于C，当c＝0时，，C错误；
对于D，当a＞1＞b时，，D错误；
故选：A．
25．（2021秋 砚山县校级期中）若a，b，c∈R且a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+c＜b+c B．ac2＞bc2 C．ac＜bc D．
【解答】解：因为a＜b，
对A：根据不等式的可加性，即可得a+c＜b+c，故A一定成立；
对B：因为c2≥0，故可得ac2≤bc2，故B一定不成立；
对C：因为c的正负不确定，故C不一定成立；
对D：，因为a﹣b＜0，但c的正负不确定，故D不一定成立．
综上所述：一定成立的是A．
故选：A．
26．（2021秋 清城区校级期中）设a＞b，a，b，c∈R，则下列不等式正确的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．1 C．a+c＞b+c D．a2b＞ab2
【解答】解：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误，
对于B，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故B错误，
对于C，∵a＞b，c＝c，
∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+c，故C正确，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，a2b＜ab2，故D错误．
故选：C．
27．（2021秋 麻阳县校级期中）若a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣b＞0 B． C．|a|＞|b| D．a2＞b2
【解答】解：对于A，若a＞b，则a﹣b＞b﹣b＝0，故A正确，
对于B，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故B错误，
对于C，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但|a|＝|b|，故C错误，
对于D，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＝b2，故D错误．
故选：A．
28．（2021秋 赣榆区校级月考）已知0，给出下列四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b≤ab；④a3＞b3，其中不正确的不等式个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵0，∴b＜a＜0，∴﹣b＞﹣a＞0，即|b|＞|a|，故①、②错误；
∵a+b＜0＜ab，∴③正确；
∵b＜a＜0，∴b3＜a3＜0，故④正确；
故选：C．
29．（2021秋 西陵区校级期中）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．a2＜cd B．a﹣c＜b﹣d C．ac＞bd D．
【解答】解：当a＝3，c＝﹣2，d＝﹣3时，a2＞cd，故选项A错误；
当a＝3，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时，a﹣c＞b﹣d，故选项B错误；
当a＝3，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时，ac＜bd，故选项C错误；
因为a＞b＞0＞c＞d，所以0，故0，D选项正确．
故选：D．
30．（2020秋 朝阳区校级月考）已知﹣b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．a2＞b2 C． D．|a|＞b
【解答】解：∵﹣b＜a＜0，
∴b＞﹣a＞0，
，
a2＜b2，
|a|＜b，
故选项A、B、D错误；
∵a﹣b＜a＜0，
∴，
故选项C正确；
故选：C．
31．（2020秋 道里区校级期中）若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bd D．ad＞bc
【解答】解：∵a＞b＞0，c＞d＞0，
∴ad＞bd，g故C错误；
∴ac＜bc＜bd，
故ac＜bd，
故A正确，B错误；
ad和bc无法比较大小，故D错误．
故选：A．
32．（2021秋 天河区校级期中）已知2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，则2a﹣b的范围是 　（5，8）　．
【解答】解：∵2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，
∴4＜2a＜6，1＜﹣b＜2，
∴5＜2a﹣b＜8，
故答案为：（5，8）．
33．已知1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，则z＝3a﹣b的取值范围是 　[﹣1，7]　．
【解答】解：∵1≤a+b≤3，﹣1≤a﹣b≤2，
∴﹣2≤2a﹣2b≤4，
∴﹣1≤3a﹣b≤7，
∴z＝3a﹣b的取值范围是：[﹣1，7]．
34．（2021秋 金水区校级月考）已知﹣1＜2s+t＜2，3＜s﹣t＜4，则5s+t的取值范围　（1，8）　（用区间表示）．
【解答】解：设5s+t＝m（2s+t）+n（s﹣t），
则5s+t＝（2m+n）s+（m﹣n）t，
则 ， 解得 ，
则 5s+t＝2（2s+t）+（s﹣t），
∵﹣1＜2s+t＜2，∴﹣2＜2（2s+t）＜4，
又∵3＜s﹣t＜4，
∴1＜2（2s+t）+（s﹣t）＜8，
即 1＜5s+t＜8，
∴5s+t 的取值范围是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
35．（2021秋 玉林期末）如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．a＞b C．a+c＞b+c D．
【解答】解：对于ac＞bc，
则：对于A和B：当c＜0，则a＜b，故ac2＜bc2，a＜b，故A、B错误；
对于C：当c＜0时，a+c＜b+c，
对于D：由于ac＞bc等价于，故D正确．
故选：D．
36．（2022秋 长沙月考）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A．a＞b B．ab
C．a D．
【解答】解：a＞b＞0时，a0，所以a；
根据基本不等式得即，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以；
又因为a＞b＞0，所以ab＞b2＞0，所以b；
综上知，ab．
故选：B．
37．（2021秋 岳麓区校级月考）若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．ab＞a2 C．|a|＜|b| D．a2＞b2
【解答】解：A，当a＝﹣2，b＝﹣1时，则，∴A错误，
B，当a＝﹣2，b＝﹣1时，则ab＜a2，∴B错误，
C，当a＝﹣2，b＝﹣1时，则|a|＞|b|，∴C错误，
D，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，∴a2＞b2，∴D正确，
故选：D．
38．（2021秋 贵池区校级期中）若，则下列说法错误的是（　　）
A．|a|＞|b| B．01 C． D．
【解答】解：∵，∴a﹣1＞b﹣1≥0，
即a＞b≥1，故|a|＞|b|，01，，，
故选项ABC说法正确，选项D说法错误，
故选：D．
39．（2021秋 武汉期中）设a，b为实数，则“a﹣b＞0”是“a2﹣b2＞0”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a﹣b＞0 a＞b，a2﹣b2＞0 a2＞b2，例如：1＞﹣2满足a＞b，但不满足a2＞b2，
再例如（﹣2）2＞12，满足a2＞b2，但不满足a＞b，
∴“a﹣b＞0”是“a2﹣b2＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
40．（2021秋 朝阳区校级月考）已知1≤a≤8，﹣2≤b≤3，则a﹣b的取值范围是（　　）
A．3≤a﹣b≤5 B．﹣2≤a﹣b≤10 C．﹣2≤a﹣b≤5 D．3≤a﹣b≤10
【解答】解：∵﹣2≤b≤3，∴﹣3≤﹣b≤2，又∵1≤a≤8，∴﹣2≤a﹣b≤10，
故选：B．
41．（2021秋 雨花区校级月考）若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（　　）
A．﹣3＜a﹣|b|≤3 B．﹣3＜a﹣|b|＜5 C．﹣3＜a﹣|b|＜3 D．1＜a﹣|b|＜4
【解答】解：∵﹣4＜b＜2，
∴0≤|b|＜4，∴﹣4＜﹣|b|≤0，
又∵1＜a＜3，
∴﹣3＜a﹣|b|＜3．
故选：C．
42．（2021秋 同安区校级期中）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么2a+3b的取值范围是　2a+3b　．
【解答】解：2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），
∴∴m，n．∴2a+3b（a+b）（a﹣b）．
∵﹣1＜a+b＜3，2＜a﹣b＜4，∴（a+b），﹣2（a﹣b）＜﹣1，
∴（a+b）（a﹣b）即2a+3b．
故答案为：2a+3b．
43．（2022秋 叶县校级月考）已知a﹣b＜0，2a﹣b＞0，则﹣3a+b（　　）
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法确定与0的大小
【解答】解：∵a﹣b＜0，∴b﹣a＞0，①
又2a﹣b＞0，②
令﹣3a+b＝m（b﹣a）+n（2a﹣b），则，解得m＝﹣1，n＝﹣2，③
由①②③得：﹣3a+b＝﹣（b﹣a）﹣2（2a﹣b）＜0，
故选：B．
三．不等式比较大小（共16小题）
44．（2021秋 滦南县校级月考）设m＞1，P＝m，Q＝5，则P，Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q
【解答】解：P﹣Q＝m5，
因为m＞1，所以（m﹣3） ≥0，m﹣1＞0，
所以0，所以P≥Q．
故选：C．
45．（2021秋 宁乡市期末）设A，其中a、b是正实数，且a≠b，B＝﹣x2+4x﹣2，则A与B的大小关系是（　　）
A．A≥B B．A＞B C．A＜B D．A≤B
【解答】解：∵a，b都是正实数，且a≠b，即A＞2，
B＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即B≤2，
∴A＞B．
故选：B．
46．（2020秋 杨浦区校级期末）若a＞b＞c，a+b+c＝0，则下列各式正确的是（　　）
A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞|b|c D．ab＞bc
【解答】解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0＞c．
∴ab＞ac．
故选：A．
47．（2021秋 龙江县校级月考）已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2+b2+c2+3，Q＝2（a+b+c），那么P与Q的大小关系是（　　）
A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q
【解答】解：P﹣Q＝a2+b2+c2+3﹣2（a+b+c）＝（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2≥0，
∵a，b，c为不全相等的实数，因此等号不成立．
∴P＞Q．
故选：A．
48．（2022秋 椒江区校级月考）已知，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【解答】解：∵ab＝1，∴，
∴，，
∴M＝N．
故选：C．
49．（2021秋 伊州区校级期末）已知t＝2a+2b，s＝a +2b+1，则（　　）
A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s
【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a +2b+1，
s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，
所以s≥t，
故选：C．
50．（2021秋 肥城市期中）已知a≥0，设，，则（　　）
A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q
【解答】解：∵，
∴，
即，
即Q＜P，
故选：A．
51．（2021秋 新乡期中）已知，，则（　　）
A．a＞b＞1 B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．b＞1＞a
【解答】解：∵c+1≥0，∴c+4≥3，c+3≥2，
∴a1，b1，
∵a2＝2c+5+2，b2＝2c+5+2，
又c2+5c+4﹣（c2+5c+6）＝﹣2＜0，∴，∴a＜b，∴b＞a＞1．
故选：B．
52．（2021秋 丰城市校级期中）已知：x＞1，y∈R，则a＝2x+2y﹣3，b＝﹣x2+2y，c＝x2+y2的大小关系是（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【解答】解：a﹣b＝2x+2y﹣3﹣（﹣x2+2y）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
因为x＞1，所以（x+1）2﹣4＞（1+1）2﹣4＝0，
所以a﹣b＞0，即a＞b，
a﹣c＝2x+2y﹣3﹣（x2+y2）＝﹣（x2﹣2x+1）﹣（y2﹣2y+1）﹣1＝﹣（x﹣1）2﹣（y﹣1）2﹣1，
因为x＞1，y∈R，所以﹣（x﹣1）2＜0，﹣（y﹣1）2≤0，所以﹣（x﹣1）2﹣（y﹣1）2﹣1＜0，
所以a﹣c＜0，即c＞a，
综上，c＞a＞b．
故选：A．
53．（2021秋 海淀区校级月考）设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【解答】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，
由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，
所以y1＞y2＞y3，
故选：C．
54．（2021秋 徐汇区校级期中）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．无法确定
【解答】解：M﹣N＝a1a2﹣（a1+a2﹣1）＝（a1﹣1）（a2﹣1），
∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，
∴a1﹣1＜0，a2﹣1＜0，∴（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，
∴M＞N，
故选：B．
55．（2020秋 池州期末）已知P＝a2+4a+1，Q＝﹣b2+2b﹣4，则（　　）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【解答】解：P﹣Q＝a2+b2+4a﹣2b+5＝（a+2）2+（b﹣1）2≥0，
∴P﹣Q≥0，即P≥Q，当且仅当a＝﹣2，b＝1时取等号．
故选：C．
56．（2021秋 通州区校级月考）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为 　M＞N　．
【解答】解：因为x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，
则M﹣N＝x3+y3﹣xy2﹣x2y＝x2（x﹣y）+y2（y﹣x）＝（x+y）（x﹣y）2＞0，
故M＞N．
故答案为：M＞N．
57．（2021秋 江阴市期末）设x＝2a（a+2）﹣2，y＝（a﹣1）（a+3），则有（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y
【解答】解：x﹣y＝2a（a+2）﹣2﹣（a﹣1）（a+3）＝2a2+4a﹣2﹣（a2+2a﹣3）＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，
∴x≥y．
故选：B．
58．（2021秋 洪山区校级月考）设x，y，z，则x，y，z的大小关系是（　　）
A．x＞y＞z B．z＞x＞y C．y＞x＞z D．x＞z＞y
【解答】解：，
01，
故，
即z＜x＜y，
故选：C．
59．（2021秋 浙江期中）已知正实数x，y满足，则（　　）
A．x＞y B．x＜y
C．x＝y D．x，y大小不确定
【解答】解：∵，∴2x﹣2y0，
∴2（）（）+（）＜0，
∴（）（221）＜0，∴0，
即x＜y，
故选：B．