直线方程与圆方程试卷（含答案）

直线方程与圆方程测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x＝tan 60°的倾斜角是(　　)
A．90° B．60°
C．30° D．不存在
2．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　)
A．20°，110° B．70°，70°
C．20°，20° D．110°，20°
3．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
5．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是(　　)
6．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．－5 B．5－
C．30－10 D．无法确定
8．方程|x|－1＝表示的曲线是(　　)
A．—个圆 B．两个圆
C．一个半圆 D．两个半圆
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A．(－3,1) B．(4,1)
C．(－2,1) D．(2，－1)
10．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值可以是(　　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．
11.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．点(，0)到直线l的距离是2
C．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
12．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是。
14．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P距离为2的直线方程为__________.
15．已知直线l经过A(2,1)，B(m>0)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________。
16．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；
(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程。
18．(本小题满分12分)
已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程．
(本小题满分12分)
已知Rt△ABC的顶点A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上。
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边上的中线所在直线的方程。
20．(本小题满分12分)
已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点。
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|。
21.(本小题满分12分)
已知以C1为圆心的圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25及其上一点A(2，4).
(1)设圆C2与x轴相切，与圆C1外切，且圆心C2在直线x＝6上，求圆C2的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆C1相交于B，C两点，且＝，求直线l的方程．
22．(本小题满分12分)
已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点。
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程。
参考答案
1解析：直线x＝tan 60°，化为x＝，由于直线x＝垂直于x轴，因此其倾斜角为90°。故选A。
答案　A
2解析：如图，因为l∥l1，所以l1的倾斜角为20°，因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为90°＋20°＝110°。
答案　A
3解析：直线方程kx－y＋1－3k＝0可变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)。
答案　C
4解析：因为kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2，2)，所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0。故选B。
答案　B
5解析：由ac<0，bc<0，得abc2>0，所以ab>0，所以斜率k＝－<0，又纵截距－>0。故选C。
答案　C
6解析：因为|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，所以三角形为等腰三角形．
答案　B
7解析：把圆的方程化为标准方程得：(x－1)2＋(y＋2)2＝25，则圆心A坐标为(1，－2)，圆的半径r＝5，设圆上一点的坐标为(x，y)，原点O坐标为(0，0)，则＝，r＝5，所以圆上一点到原点O最小距离为5－.则x2＋y2的最小值为(5－)2＝30－10.
答案　C
8解析：方程可化为2＋2＝1.
又|x|－1≥0，所以x≤－1或x≥1.
若x≤－1时，则方程为2＋2＝1；
若x≥1时，则方程为2＋2＝1.
答案　D
9解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即平行四边形AOBC1，平行四边形ABOC2，平行四边形AOC3B。根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标。故选BCD。
答案　BCD
10解析：因为l过定点A(0，－)，2x＋3y－6＝0过B(0，2)，
C(3，0)，两直线的交点位于第一象限，所以k>kAC，所以k>，所以<α<.
答案　BC
11解析：直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan θ＝，故直线l的倾斜角是，A错误；点到直线l的距离d＝＝2，B正确；因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，C错误；过与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：x－y－4＝0，D正确．
答案　BD
12解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，
所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
答案　ACD
13解析：由题意知直线过点(2,0)和点(1,3)，由两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0。
答案　3x＋y－6＝0
14解析：由得所以直线l1与l2的交点为.当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝1，点P到该直线的距离为1，不合题意；当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－2＝k，即kx－y－k＋2＝0，由于点P到所求直线的距离为2，可得2＝，整理得3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝.综上，所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案 y＝2或4x－3y＋2＝0
15解析：易知直线l的斜率存在。设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝＝－＋3＝－2＋1≤1，当且仅当＝，即m＝1时，等号成立。又0°≤θ<180°，所以0°≤θ≤45°或90°<θ<180°。
答案　0°≤θ≤45°或90°<θ<180°
16解析：因为PA⊥PB，所以O，A，P，B构成正方形，|OP|＝.
以O为圆心，为半径作圆，与圆M有交点，
所以0≤≤2，解得a∈[－2，2].
答案 [－2，2]
17解析：(1)由y＝2x＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2，所以所求直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0。
(2)由y＝3x－5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－。所以所求直线的方程为y＋2＝－(x＋2)，即x＋3y＋8＝0。
18解析：因为＝＝5，＝＝2，＝＝，
所以<<.所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外．
所以圆的半径r＝＝5，所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.
19解析：(1)因为Rt△ABC的直角顶点B(－1，－2)，所以AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1。又因为A(－3,0)，所以kAB＝＝－，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0。因为点C在x轴上，所以令y＝0，得x＝3，即C(3,0)。
(2)由(1)得C(3,0)，所以AC的中点为(0,0)，所以斜边上的中线所在直线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝2，所以直线OB的方程为y＝2x。
20解析：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1。因为直线l与圆C交于两点，所以<1。解得(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)。将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0。所以x1＋x2＝，x1x2＝。
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8。由题设可得＋8＝12，解得k＝1，满足21解析：(1)因为圆心C2在直线x＝6上，所以可设C2(6，n)，因为圆C2与x轴相切，则圆C2为(x－6)2＋(y－n)2＝n2.又圆C2与圆C1外切，圆C1：(x－6)2＋(y－7)2＝25.则|7－n|＝＋5，解得n＝1.所以圆C2的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋b，则圆心C1到直线l的距离d＝＝.则＝2＝2，又＝＝2，
所以2＝2，解得b＝5或b＝－15，即直线l的方程为：2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
22解析：(1)证明：因为圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋。所以圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝，即B；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，即A(2t,0)，所以S△OAB＝|OA|·|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值。
(2)因为|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，所以OC垂直平分线段MN。因为kMN＝－2，所以kOC＝。所以＝t，解得t＝2或t＝－2。当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点。当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>。圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去。所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5。