北师大版高中数学必修第二册第一章三角函数1周期变化课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第一章　三角函数
§1　周期变化
核心知识目标 核心素养目标
1.理解周期现象.
2.理解周期函数、周期、最小正周期的概念. 通过现实生活和数学中的周期现象的实例,抽象周期函数的概念,提高数学抽象的核心素养.
知识探究·素养培育
探究点一
周期现象
知识点1:周期现象
每间隔相同时间重复一次,这种周而复始的现象称为周期现象.
[例1] 判断下列现象是否为周期现象,并说明理由.
(1)地球的自转;
解:(1)地球每天自转一圈,并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作,因此是周期现象.
(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数;
解:(2)连续抛掷一枚骰子,朝上一面的点数有可能为1,2,…,6,并且前一次出现的点数,下一次可能出现,也可能不出现,故出现的点数是随机的,因此不是周期现象.
[例1] 判断下列现象是否为周期现象,并说明理由.
(3)钟表的秒针的转动;
解:(3)钟表的秒针的转动,每一分钟转一圈,并且每分钟总是重复前一分钟的动作,因此是周期现象.
(4)某段高速公路每天通过的车辆数.
解:(4)某段高速公路每天通过的车辆数会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化,没有一个确定的规律,因此不是周期现象.
变式训练1-1:判断下列现象是否为周期现象:
(1)北京天安门广场的国旗,日出时升旗,日落时降旗,其每天的升旗时间;
解:(1)北京每天的日出、日落随节气变化,并非恒定,相邻两天的升旗时间间隔是变化的,不是常数,所以不是周期现象.
(2)中央电视台每晚7:00播出的《新闻联播》.
解:(2)每24小时,《新闻联播》播出一次,所以是周期现象.
方法总结
周期现象的两个特点:(1)重复出现;(2)间隔距离相同.
探究点二
周期函数的概念
[问题1] 如果函数y=f(x),对任意的自变量x,每间隔T(T≠0),函数值y重复出现,这种现象如何进行表述
提示:f(x+T)=f(x).
知识点2:周期函数、最小正周期的概念
(1)周期函数:一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)= ,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的 .
(2)最小正周期:如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
f(x)
周期
[例2] 弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期;
解:(1)由题意知该函数的周期为4 s.
[例2] 弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示.
(2)当t=10.5 s时,求弹簧振子相对平衡位置的位移.
解:(2)设x=f(t),由函数的周期为4 s可知
f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8,
即当t=10.5 s时,
弹簧振子相对平衡位置的位移是-8 cm.
变式训练2-1:已知函数f(x)的定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=
f(4+x),若f(1)=6,则f(log2128)+f(log216)等于(　　)
(A)6 (B)0
(C)-6 (D)-12
解析:因为f(x)=f(4+x),所以f(x)的周期T=4,
因为函数f(x)的定义域为R且满足f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,f(-1)=
-f(1)=-6,
所以f(log2128)+f(log216)=f(log227)+f(log224)=f(7)+f(4)=f(-8+7)+
f(0)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0)=-6+0=-6.
故选C.
变式训练2-2:已知函数y=f(x)的图象如图,则该函数的周期为　　　　;若f(0.005)=3,则f(0.025)=　　　　.
解析:由题中图象知周期为0.02,所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=
f(0.005)=3.
答案:0.02　3
方法总结
利用T为f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也为f(x)的周期,可把周期函数的函数值计算转化为已知区间上的函数值计算.
探究点三
周期函数其他表现形式
知识点3:周期函数的其他几种表现形式
(2)函数y=f(x)的定义域为D,若对 x∈D,存在非零常数a,使得f(x+a)=
-f(x),那么2a为f(x)的一个周期;
答案:2π
解析:因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),所以f(2+x)=
f(-x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
所以f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)=f(1)+f(2)+f(3)=f(1)-f(0)-f(1)=0.
故选C.
变式训练3-1:定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x∈[0,1]时,
f(x)=log2(x+1),则f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)等于(　　)
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
方法总结
代换方法:在类似f(x+T)=f(x-T)中,如果x∈R,非零常数T为实数,则x+T也是实数,把等式的x换为x+T,等式f(x+T)=f(x-T)仍然成立,这种思想是类似已知f(x+T)=f(x-T)导出函数周期的基本出发点.
备用例题
[例1] (多选题)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　)
(A)若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
(B)若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称
(C)若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数
(D)若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称
解析:对A,f(x)是奇函数,故图象关于原点对称,
将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x-1)的图象,故f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,正确;
对B,若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),
得f(x+2)=f(x),所以f(x)是一个周期为2的周期函数,
不能说明其图象关于直线x=1对称,错误;
对C,若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,故为偶函数,正确;
对D,由f(1+x)+f(1-x)=2得f(1)+f(1)=2,f(2)+f(0)=2,f(3)+f(-1)=
2,f(4)+f(-2)=2,…,f(x)的图象关于(1,1)对称,正确.
故选ACD.
(2)证明:2是函数f(x)的周期;
(3)当x∈[0,1)时,f(x)=x,求f(x)在x∈[-1,0)时的解析式,并写出f(x)在x∈[2k-1,2k+1)
(k∈Z)时的解析式.