北师大版高中数学必修第二册第一章三角函数2.1角的概念推广2.2象限角及其表示课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
§2　任意角
2.1　角的概念推广
2.2　象限角及其表示
核心知识目标 核心素养目标
1.理解任意角的概念.
2.理解象限角的概念,会表达终边相同的角. 通过角的概念的推广,提高数学抽象的核心素养.
知识探究·素养培育
探究点一
角的概念的推广
知识点1:角的概念的推广
(1)角的定义:如图,平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的 ,射线OA是角α的
,射线OB是角α的 .
顶点
始边
终边
(2)角的分类:
逆时针
类型 规定 图示
正角 按 方向旋转形成的角
负角 按 方向旋转形成的角
零角 如果一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
顺时针
[思考1] 在上述规定下,经过2个小时,时钟的分针转过的度数为多少
提示:-720°.
[例1] (1)钟表的分针在一个半小时转了(　　)
(A)180° (B)-180° (C)540° (D)-540°
解析:(1)分针旋转的角为负角,其值为-(360°+180°)=-540°.故选D.
答案:(1)D
(2)如图,射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置,并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置,则∠AOC=　　　　.
解析:(2)由角的定义可得∠AOC=45°+(-120°)=-75°.
答案:(2)-75°
变式训练1-1:射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC等于(　　)
(A)150° (B)-150°
(C)390° (D)-390°
解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-270°)=
-150°,故选B.
方法总结
注意角的旋转度数以及旋转方向,才能判定角数值是多少.
探究点二
象限角及其表示
知识点2:象限角及其表示
(1)象限角和轴线角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与 重合,角的 与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在 ,我们就说这个角是第几象限角,按角的终边(除端点外)所在象限分类,分为第一、第二、第三、第四象限角.终边落在坐标轴上的角是轴线角.
(2)与角α终边相同的角:一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合,这个集合可记为S= .
,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
原点
始边
第几象限
{β|β=α+
k·360°,k∈Z}
[思考2] 如何使用集合表达各个象限角 如何用集合表达轴线角
提示:(1)角的终边落在各个象限时,象限角的表示
第一象限角:{α|k·360°<α第二象限角:{α|k·360°+90°<α第三象限角:{α|k·360°+180°<α第四象限角:{α|k·360°+270°<α(2)角的终边落在x轴、y轴时,轴线角的表示
终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z},
终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z},
终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.
[例2] (1)475°角的终边所在的象限是(　　)
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:(1)因为475°=360°+115°,90°<115°<180°,所以115°是第二象限角,故475°角的终边所在的象限是第二象限.故选B.
(2)与2 020°角的终边相同的角可以表示为(　　)
(A)200°+k×360°(k∈Z)
(B)140°+k×360°(k∈Z)
(C)-220°+k×360°(k∈Z)
(D)220°+k×360°(k∈Z)
解析:(2)因为2 020°=5×360°+220°,所以2 020°与220°终边相同,由此可得,与2 020°角的终边相同的角可以表示为220°+k×
360°(k∈Z).
故选D.
变式训练2-1:-510°是(　　)
(A)第一象限角 (B)第二象限角
(C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:因为-510°=210°-2×360°,210°为第三象限角,则-510°是第三象限角.
故选C.
变式训练2-2:下列各组角中,终边相同的是(　　)
(A)43°和313° (B)37°和787°
(C)65°和-655° (D)124°和-576°
解析:65°=-655°+2×360°,
故选C.
方法总结
(1)凡形如k·360°+α(k∈Z)的角都与α终边相同,且α的终边在第几象限,k·360°+α(k∈Z)的终边也在第几象限,解题中抓住这个关键点即可.(2)形如k·180°+α,k·120°+α角的终边问题,分k=2m,k=3m,
m∈Z化为(1)中的形式.
备用例题
[例1] 四个命题:①小于90°的角是锐角;②A={α|α=k·180°,k∈Z},
B={β|β=k·90°,k∈Z},则A B;③-950°12′是第三象限角;④α,β终边相同,则α=β.其中正确的命题编号是　　　　.
解析:0°角就是小于90°的角,但不是锐角,故①错误;180°的整数倍是90°的偶数倍,故②正确;
-950°12′+3×360°=1080°-950°12′=129°48′,为第二象限角,故③错误;
0°和360°终边相同,但角不相等,故④错误.
答案:②
[例2] (1)如图,阴影部分表示角α的终边所在的位置,试写出角α的集合.
解:(1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+
k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤
k·180°,k∈Z};
②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.
(2)在直角坐标系中画出表示集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+
45°,k∈Z}的范围.
解:(2)因为{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α|k·
360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α|k·360°+90°≤α≤
k·360°+225°,k∈Z},
所以集合{α|k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范围如图所示.
[例3] 在平面直角坐标系中,用阴影部分表示下列集合:
(1){α|30°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z};
解:(1)根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·360°≤α≤60°+
k·360°,k∈Z}对应的区域如图所示.
[例3] 在平面直角坐标系中,用阴影部分表示下列集合:
(2){α|30°+k·180°≤α≤60°+k·180°,k∈Z}.
解:(2)根据任意角的定义,画出集合{α|30°+k·180°≤α≤60°+
k·180°,k∈Z}对应的区域如图所示.