数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程（共23张ppt）

(共23张PPT)
第三章 圆锥曲线与方程
圆
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥曲线
3.1.1 椭圆及其标准方程
一、情境引入
生活中的椭圆
如何画一个标准的椭圆呢？
实验操作：
F
2
F
1
M
取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板的不同点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件呢？
1、笔尖到两个定点的距离和等于常数
2、这个常数大于两定点的距离
把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
焦距的一半称为半焦距.
椭圆的定义：
F1
F2
M


把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
焦距的一半称为半焦距.
椭圆的定义：
F1
F2
M


思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆
|MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段
|MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在
在知道了椭圆的定义之后，我们怎样用方程来表示呢？
探究2 椭圆的标准方程
设M(x，y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c>0)， M与F1， F2的距离的和等于常数2a(a>0).
如图， 建立平面直角坐标系,则
由定义知：
F1
F2
M


(x,y)
x
y
O
化简整理得
由椭圆定义知：
为了使方程形式更简单：
我们把方程①叫做椭圆的标准方程.
①
思考：观察图, 你能从中找出表示a，b，c的线段吗？
椭圆的标准方程：
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
如图， 若椭圆的焦点在x轴上， 则椭圆的标准方程为
其中焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)， c2＝a2-b2
F1
F2
P


x
y
O
c
a
b
探究：如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
定义
焦点位置
图形
方程
特点 共同点
不同点
椭圆的标准方程:
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点在哪个轴上
【判断】下列哪些方程表示椭圆？若是,则判定其焦点在哪条坐标轴？
(0,±2)
4
A
A
B
D
【及时训练】
例1
解1: (定义法)
先定位
再定量
解2: (待定系数法)
例1
先定位
再定量
14
(4)经过点
y
O
F1
F2
x
A
B
(1)由题意
故△AF1B的周长为：
(2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.
仍然成立.
解：


∴△AF1B的周长为：
设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
由点M是线段PD的中点，得
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹方程是什么？为什么？
x
y
P
M
O

D

解：(相关点代入法)
【练习】课本115页第9题
例3
x
y
B
M
O
A

解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
y
O
F1
F2
P
x
解得
证明：
椭圆的焦点三角形面积公式：
【练习】1、
2、
3